《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)。
A.对角线互相平分
B.对角线互相垂直
C.对角线相等
D.对角线互相垂直平分且相等

答案： A

2. 【2024 太原期末】如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,点 $E$ 在边 $BC$ 上,且 $BE = 1$。若 $EA$ 平分 $\angle BED$,则 $AD$ 的长是(B)。

A.$4.5$
B.$5$
C.$5.5$
D.$6$

答案： B

3. 【2023 宁夏中考】如图,在边长为 $2$ 的正方形 $ABCD$ 中,点 $E$ 在 $AD$ 上,连接 $EB$,$EC$,则图中阴影部分的面积是2。

答案： 2

4. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB = 3$,$BC = 6$,将矩形沿对角线 $BD$ 对折,$BC$ 的对应边 $BE$ 与 $AD$ 相交于点 $P$,则 $PD$ 的长为$\frac{15}{4}$。

答案： $\frac{15}{4}$

5. (开放性)如图,$\triangle ABC$ 中,$DE // AC$ 交 $AB$ 于点 $E$,$DF // AB$ 交 $AC$ 于点 $F$,$AD$ 是 $\triangle ABC$ 的角平分线。
(1) 四边形 $AEDF$ 的形状是菱形；
(2) 在前面的条件下,若 $\triangle ABC$ 再满足一个条件∠BAC=90°（答案不唯一）,则四边形 $AEDF$ 是正方形。

答案：
(1)菱；
(2)∠BAC=90°（答案不唯一）

6. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC$ 的平分线交 $BC$ 于点 $D$,$E$ 是 $AB$ 上一点,且 $AE = AC$,$EF // BC$ 交 $AD$ 于点 $F$。连接 $CF$,$DE$。求证：四边形 $CDEF$ 是菱形。

答案： 证明：
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD．
∵AC=AE，∠CAD=∠EAD，AD=AD，
∴△ACD≌△AED（SAS）．
∴CD=ED，∠ADC=∠ADE．
∵EF//BC，
∴∠EFD=∠ADC（两直线平行，内错角相等）．
∵∠ADC=∠ADE，
∴∠EFD=∠ADE．
∴EF=ED（等角对等边）．
∴EF=CD（
∵CD=ED）．
∵EF//BC，
∴EF//CD．
∴四边形CDEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
∵CD=ED，
∴平行四边形CDEF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．

7. 如图,$E$ 为正方形 $ABCD$ 的边 $AB$ 的延长线上一点,$DE$ 交 $AC$ 于点 $F$,交 $BC$ 于点 $G$,$H$ 为 $GE$ 的中点。连接 $BF$,$BH$。求证：$FB \perp BH$。

答案： 证明：
1. 四边形ABCD为正方形，
∴AD=BC，∠DAF=∠BCF=45°，AD//BC，AB⊥BC。
2. 在△AFD和△CFB中，∠DAF=∠BCF，AD=BC，∠AFD=∠CFB（对顶角），
∴△AFD≌△CFB（ASA），
∴FD=FB，故∠FDB=∠FBD。
3.
∵AD//BC，
∴∠FDB=∠BGD（内错角相等），
∴∠FBD=∠BGD。
4.
∵E在AB延长线上，AB⊥BC，
∴∠GBE=90°，即△GBE为Rt△。H为GE中点，
∴BH=GH（直角三角形斜边中线等于斜边一半），
∴∠HBG=∠BGD。
5.
∴∠FBD=∠HBG（等量代换）。
6.
∵∠CBD=45°（正方形对角线性质），即∠FBD+∠FBC=45°，
∴∠HBG+∠FBC=45°。
7.
∵∠ABC=90°，
∴∠ABF+∠FBC=90°，则∠ABF=90°-∠FBC。
8. 在△ABF中，∠BAF=45°，
∴∠AFB=180°-45°-∠ABF=45°+∠FBC。
9.
∵∠AFB是△BFC外角，
∴∠AFB=∠FBC+∠BCF=∠FBC+45°（∠BCF=45°），等式成立。
10.
∵∠FBH=∠FBC+∠CBH=∠FBC+∠HBG=45°+∠FBC-∠FBC=90°，
∴FB⊥BH。
结论：FB⊥BH。