《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

7. 如果一个一元二次方程的二次项是$2x^{2}$,经过配方整理得$(x-\frac{1}{2})^{2}= 1$,那么它的一次项和常数项分别是(C)。
A.$-x,-\frac{3}{4}$
B.$-2x,-\frac{1}{2}$
C.$-2x,-\frac{3}{2}$
D.$x,-\frac{3}{2}$

答案： C

8. 无论$a$,$b$为何实数,$a^{2}+b^{2}-2a-4b+8$的值(A)。
A.总是正数
B.总是负数
C.可以是零
D.可以是正数,也可以是负数

答案： A

9. 等腰三角形的两边长分别是方程$3x^{2}-7x+4= 0$的两个根,则此等腰三角形的周长为$\frac{11}{3}$或$\frac{10}{3}$。

答案： $\frac{11}{3}$或$\frac{10}{3}$

10. 某校团体操表演队伍有6行8列,后又增加了51人,使得团体操表演队伍增加的行、列数相同。求增加了多少行、多少列。

答案： 解:设增加了x行和x列， 根据题意,得$(6+x)(8+x)-6× 8=51$, 整理,得$x^{2}+14x-51=0$, 解得$x_{1}=3$,$x_{2}=-17$(不合题意，舍去). 答:增加了3行和3列.

11. 已知三角形的两边长分别是8和6,第三边长是一元二次方程$x^{2}-16x+60= 0$的一个根。求该三角形的面积。

答案： 解:
∵$x^{2}-16x+60=0$,
∴$(x-8)^{2}=4$.
∴$x-8=\pm 2$.
∴$x=10$或$x=6$.
∴第三边长为10或6. ①当第三边长为10时,
∵$8^{2}+6^{2}=10^{2}$,
∴该三角形为直角三角形,且8和6为直角边长.
∴该三角形的面积为$\frac{1}{2}× 8× 6=24$. ②当第三边长为6时,该三角形为等腰三角形. 不妨设$AB=AC=6$,$BC=8$. 如图,过点A作$AD\perp BC$于点D, 则$BD=CD=\frac{1}{2}BC=4$.
∴由勾股定理,得$AD=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=2\sqrt{5}$.
∴$\triangle ABC$的面积为$\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AD=8\sqrt{5}$. 综上,该三角形的面积为24或$8\sqrt{5}$.

12. 阅读下列材料,解答后面的问题。
材料：求代数式$x^{2}-2x+5$的最小值。
小明同学的部分解答过程如下：$x^{2}-2x+5= x^{2}-2x+1-1+5= (x-1)^{2}+4$。
(1)请按照小明的解题思路,写出完整的解答过程；
(2)请运用上面的思路解决问题：求$-x^{2}+6x-7$的最大值。

答案： 解:
(1)$x^{2}-2x+5=x^{2}-2x+1-1+5=(x-1)^{2}+4$.
∵$(x-1)^{2}\geq 0$,
∴$(x-1)^{2}+4\geq 4$,
∴代数式$x^{2}-2x+5$的最小值是4.
(2)
∵$-x^{2}+6x-7=-(x^{2}-6x+9)+2=-(x-3)^{2}+2$,
∵$(x-3)^{2}\geq 0$,
∴$-(x-3)^{2}\leq 0$. 当$x=3$时,$-(x-3)^{2}=0$,
∴$-x^{2}+6x-7$的最大值为2.