《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

7. 【2024阜阳三模】定义新运算$a\otimes b = ab - a$,如$2\otimes(-1)= 2×(-1)-2= -4$,则方程$x\otimes(x + 2)= 6\otimes x$的解是(B).
A.$x_{1}= 0$,$x_{2}= 4$
B.$x_{1}= 2$,$x_{2}= 3$
C.$x_{1}= -2$,$x_{2}= -3$
D.$x_{1}= 2+\sqrt{6}$,$x_{2}= 2-\sqrt{6}$

答案： B

8. 如下所示可将方程$x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}转化为x^{2}+x - 1 = 0$,我们规定：方程$x^{2}+x - 1 = 0称为x= \frac{\sqrt{5}-1}{2}$的还原方程.

$x= \frac{\sqrt{5}+3}{2}$的还原方程是x²-3x+1=0.

答案： x²-3x+1=0

9. 用公式法解下列方程：
(1)$-3x^{2}+6x = 1$；
(2)$\frac{1}{2}x^{2}+x = 2$；
(3)$(x + 5)(x - 7)= -20$.

答案： 解:
(1)
∵-3x²+6x=1,
∴3x²-6x+1=0,这里a=3,b=-6,c=1.
∵b²-4ac=(-6)²-4×3×1=36-12=24,
∴x=(6±√24)/(2×3)=(6±2√6)/6=(3±√6)/3,即x₁=(3-√6)/3,x₂=(3+√6)/3.
(2)整理得x²+2x-4=0,这里a=1,b=2,c=-4,
∵b²-4ac=4-4×1×(-4)=4+16=20,
∴x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(-2±√20)/(2×1)=-1±√5,即x₁=-1-√5,x₂=-1+√5.
(3)整理得x²-2x-15=0,这里a=1,b=-2,c=-15,
∵b²-4ac=(-2)²-4×1×(-15)=4+60=64.
∴x=(2±8)/(2×1)=(2±8)/2,即x₁=5,x₂=-3.

10. 解方程$x^{2}= 3x + 2$时,有一名同学的解题过程如下：
$\because a = 1$,$b = 3$,$c = 2$,
$\therefore b^{2}-4ac = 3^{2}-4×1×2 = 1$,
$\therefore x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}= \frac{-3\pm1}{2}$,
$\therefore x_{1}= -1$,$x_{2}= -2$.
请你分析以上解题过程有无错误,如有错误,请指出错误之处,并写出正确的解题过程.

答案： 解:有.错误之处:没有先把方程化成一般形式.正确的解题过程:整理得x²-3x-2=0,
∵a=1,b=-3,c=-2,
∴b²-4ac=(-3)²-4×1×(-2)=17,
∴x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)=(3±√17)/2,
∴x₁=(3+√17)/2,x₂=(3-√17)/2.

11. 已知$a$,$b$,$c均为实数且\sqrt{a^{2}-2a + 1}+|b + 1|+(c + 3)^{2}= 0$,求方程$ax^{2}+bx + c = 0$的根.

答案： 解:依题意得a²-2a+1=0,b+1=0,c+3=0,
∴a=1,b=-1,c=-3,
∴b²-4ac=(-1)²-4×1×(-3)=1+12=13.
∴x=(1±√13)/(2×1)=(1±√13)/2.
∴方程ax²+bx+c=0的根为x₁=(1+√13)/2,x₂=(1-√13)/2.

12. (数学文化)【2023黄冈中考】右图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的一个大正方形. 设图中$AF = a$,$DF = b$,连接$AE$,$BE$. 若$\triangle ADE与\triangle BEH$的面积相等,则$\frac{b^{2}}{a^{2}}+\frac{a^{2}}{b^{2}}= $3.

答案： 3