《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

13. 已知关于$x的方程x^{2}-(2k + 1)x+4(k-\frac{1}{2})= 0$.
(1)求证：无论$k$取什么实数,这个方程总有实数根；
(2)若等腰三角形$ABC的一边长a = 4$,另两边的长$b$,$c$恰好是这个方程的两个根,求$\triangle ABC$的周长.

答案：
(1)证明:$\Delta=[-(2k+1)]^{2}-4×4(k-\frac{1}{2})=4k^{2}-12k+9=(2k-3)^{2}$.
∵$(2k-3)^{2}\geq0$,
∴无论$k$取什么实数,原方程总有实数根.
(2)解:
∵$\triangle ABC$是等腰三角形,
∴$\triangle ABC$有两条边的长相等.若$b=c$,
∵$b$,$c$是所给方程的两个根,
∴$\Delta=(2k-3)^{2}=0$,即$k=\frac{3}{2}$.此时方程为$x^{2}-4x+4=0$,
∴$b=c=2$.又
∵$a=4$,
∴$b+c=a$,不符合三角形的三边关系,
∴不存在这种情况.若$b$,$c$中有一个与$a$相等,不妨设$b=a=4$.
∵$b$是所给方程的根,
∴$4^{2}-4(2k+1)+4(k-\frac{1}{2})=0$.
∴$k=\frac{5}{2}$.此时方程为$x^{2}-6x+8=0$,
∴$b=4$,$c=2$.
∵$a=b=4$,$c=2$,符合三角形的三边关系,
∴$\triangle ABC$的周长为$a+b+c=4+4+2=10$.

14. 阅读材料：把形如$ax^{2}+bx+c$的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写,即$a^{2}\pm2ab + b^{2}= (a\pm b)^{2}$.例如：$(x - 1)^{2}+3$,$(x - 2)^{2}+2x$,$(\frac{1}{2}x - 2)^{2}+\frac{3}{4}x^{2}是x^{2}-2x + 4$的三种不同形式的配方,即“余项”分别是常数项、一次项和二次项.
请根据阅读材料解决下列问题：
(1)写出$x^{2}-4x + 2$的三种不同形式的配方；
(2)已知$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - 3b - 2c + 4= 0$,求$a + b + c$的值.

答案：
(1)$x^{2}-4x+2=(x-2)^{2}-2$,$x^{2}-4x+2=(x-\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2}-4)x$,$x^{2}-4x+2=2(x-1)^{2}-x^{2}$.(答案不唯一)
(2)$a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-3b-2c+4=(a-\frac{1}{2}b)^{2}+\frac{3}{4}(b-2)^{2}+(c-1)^{2}=0$,
∴$a-\frac{1}{2}b=0$,$b-2=0$,$c-1=0$.
∴$a=1$,$b=2$,$c=1$.
∴$a+b+c=4$.