《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

5. 如图所示,地面上有一个不规则的封闭图形,为求得它的面积,小明设计了如下的一个方案：
①在此封闭图形内画出一个半径为 1 m 的圆.
②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点),记录如下：

(1)通过以上信息,可以发现当投掷的次数很多时,$\frac{m}{n}$ 的值越来越接近0.26；(结果精确到 0.01)
(2)若以小石子所落的有效区域为总数(即 $ m + n $),则随着投掷次数的增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率稳定在0.2附近；(结果精确到 0.1)
(3)请你利用(2)中所得的频率,估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留 $ \pi $)

解:设封闭图形的面积为a,根据题意得$\frac{π}{a}=0.2$,$\therefore a=5π$.答:估计整个封闭图形的面积是$5π\ m^2$.

答案：
(1)0.26
(2)0.2 解析:206÷1000≈0.2,
∴随着投掷次数的增大,小石子落在圆内(含圆上)的频率稳定在0.2附近.故答案为0.2.
(3)解:设封闭图形的面积为a,根据题意得$\frac{π}{a}=0.2$,$\therefore a=5π$.答:估计整个封闭图形的面积是$5π\ m^2$.

6. (1)一个不透明的口袋中装有若干个除颜色外其他都相同的红球与黄球. 在这个口袋中先放入 2 个白球,再进行摸球试验,摸球试验的要求：先搅拌均匀,每次摸出一个球,记录颜色后放回口袋中,再继续摸球,全班一共进行了 400 次这样的摸球试验. 如果知道摸出白球 40 次,你能估计在未放入白球前,口袋中原来共有多少个球吗？
(2)提出问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球,怎样估算不同颜色球的数量？
活动操作：先从盒中摸出 8 个球,画上记号放回盒中,再进行摸球试验. 摸球试验的要求：先搅拌均匀,每次摸出一个球,记录颜色、是否有记号,然后放回盒中搅匀,再继续摸球、记录、放回盒中.
统计结果：摸球试验一共进行了 50 次,统计结果如下表：


由上述摸球试验推算：
①盒中红球、黄球各占球的总个数的百分比；
②盒中有多少个红球？

答案：
(1)能.设口袋中原来共有x个球,$\frac{40}{400}=\frac{2}{2+x}$,解得$x=18$.经检验,$x=18$是所列方程的解,且符合题意.因此,估计在未放入白球前,口袋中原来共有18个球.
(2)①盒中红球占总球数的百分比是$\frac{18+2}{50}=\frac{20}{50}=40\%$,盒中黄球占总球数的百分比是$\frac{28+2}{50}=\frac{30}{50}=60\%$.
②设盒中有y个球,由题意得$\frac{2+2}{50}=\frac{8}{y}$,解得$y=100$.经检验,$y=100$是所列方程的解,且符合题意.$100×40\%=40$(个),即盒中有40个红球.