《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

6. 如图,$ AB// CD// EF $,$ AF $ 与 $ BE $ 相交于点 $ G $,且 $ AG = 2 $,$ GD = 1 $,$ DF = 5 $,那么 $ \dfrac{BC}{CE}= $$\frac{3}{5}$.

答案： $\frac{3}{5}$

7. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是 $ BC $ 边上的中线,$ M $ 是 $ AD $ 的中点,$ BM $ 的延长线交 $ AC $ 于点 $ N $.求证：$ AN= \dfrac{1}{2}CN $.

答案： 证明:如图，过点D作$DE// BN$，交AC于点E.
∵AD是BC边上的中线，
∴$BD=DC$.
∵$DE// BN$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{CE}{NE}$.
∴$CE=NE$.
∵M是AD的中点，
∴$AM=MD$.
∵$DE// MN$，
∴$\frac{AM}{MD}=\frac{AN}{NE}$.
∴$AN=NE=CE$.
∴$CN=NE+CE=2AN$.
∴$AN=\frac{1}{2}CN$.

8. 如图,$ a// b// c $.直线 $ m $,$ n $ 与 $ a $,$ b $,$ c $ 分别相交于点 $ A $,$ B $,$ C $ 和点 $ D $,$ E $,$ F $.
(1) 若 $ AB = 3 $,$ BC = 5 $,$ DE = 4 $,求 $ EF $ 的长；
(2) 若 $ AB:BC = 2:5 $,$ DF = 14 $,求 $ EF $ 的长.

答案：
(1)
∵$a// b// c$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$.
∵$AB=3$，$BC=5$，$DE=4$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{4}{EF}$.
∴$EF=\frac{20}{3}$.
(2)
∵$a// b// c$，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$.
∵$AB:BC=2:5$，$DF=14$，
∴$\frac{2}{5}=\frac{14 - EF}{EF}$，
解得$EF=10$.

9. 请阅读材料,并回答下列问题.
三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比.
已知：如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是角平分线.
求证：$ \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{BD}{DC} $.
证明：如图,过点 $ C $ 作 $ CE// DA $,交 $ BA $ 的延长线于点 $ E $,则 $ \angle 1 = \angle E $,$ \angle 2 = \angle 3 $.①
$ \because AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,
$ \therefore \angle 1 = \angle 2 $.$ \therefore \angle 3 = \angle E $.
$ \therefore AC = AE $.②
$ \because AD// CE $,$ \therefore \dfrac{AB}{AE}= \dfrac{BD}{DC} $.③
$ \therefore \dfrac{AB}{AC}= \dfrac{BD}{DC} $.
(1) 上述证明过程中,①②③处的理由分别是什么？
(2) 用三角形内角平分线定理解答：在 $ \triangle ABC $ 中,$ AD $ 是角平分线,$ AB = 7\ cm $,$ AC = 4\ cm $,$ BC = 6\ cm $,求 $ BD $ 的长；
(3) 我们知道,如果两个三角形的高相等,那么它们面积的比就等于底边长的比.请你通过面积的比来证明三角形内角平分线定理.

答案：
(1)解:①处的理由是两直线平行，同位角相等和两直线平行，内错角相等.②处的理由是等角对等边.③处的理由是平行线分线段成比例.
(2)解:
∵AD平分$\angle BAC$，
∴$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{7}{4}$.
又
∵$BC = 6cm$，
∴$BD=\frac{7}{7 + 4}× 6=\frac{42}{11}(cm)$.
(3)证明:如图，过点D作$DE\perp AB$于点E，作$DF\perp AC$于点F，过点A作$AH\perp BC$于点H.
∵AD平分$\angle BAC$，
∴$DE=DF$.
∵$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB\cdot DE=\frac{1}{2}BD\cdot AH$，
$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DF=\frac{1}{2}CD\cdot AH$，
∴$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}=\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$.