《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

9. 【2023 淮安中考】为了便于劳动课程的开展,学校打算建一个矩形生态园 $ ABCD $(如图),生态园一面靠墙(墙足够长),另外三面用 18 m 的篱笆围成.生态园的面积能否为 $ 40 m^{2} $? 如果能,请求出 $ AB $ 的长；如果不能,请说明理由.
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答案： 解:能。设$AB = x\ m$，则$AD = BC = \dfrac{1}{2}(18 - x)\ m$，根据题意，得$\dfrac{1}{2}x(18 - x)=40$，解得$x_{1}=8$，$x_{2}=10$。答:$AB$的长为$8\ m$或$10\ m$。

10. 如图,在直角墙角 $ AOB $($ AO \perp OB $,且 $ OA $,$ OB $ 长度不限)中,要砌 20 m 长的墙,与直角墙角 $ AOB $ 围成地面为矩形的储仓,且地面矩形 $ AOBC $ 的面积为 $ 96 m^{2} $.
(1)求这个地面矩形的长；
(2)规格为 $ 0.80 m × 0.80 m $ 和 $ 1.00 m × 1.00 m $ 的地板砖价格分别为 55 元/块和 80 元/块,若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙),用哪一种规格的地板砖费用较少?
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答案： 解:
(1)设这个地面矩形的长为$x\ m$，则宽为$(20 - x)\ m$。依题意，得$x(20 - x)=96$。解得$x_{1}=12$，$x_{2}=8$(舍去)。故这个地面矩形的长为$12\ m$。
(2)用规格为$0.80×0.80$(单位:$m$)的地板砖所需的费用为$(12÷0.80)×(8÷0.80)×55 = 8250$(元)，用规格为$1.00×1.00$(单位:$m$)的地板砖所需的费用为$(12÷1.00)×(8÷1.00)×80 = 7680$(元)。$\because 8250＞7680$，$\therefore$用规格为$1.00×1.00$(单位:$m$)的地板砖费用较少。

11. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ AB = 5 cm $,$ BC = 7 cm $.点 $ P $ 从点 $ A $ 开始沿 $ AB $ 边向点 $ B $ 以 $ 1 cm/s $ 的速度移动,到点 $ B $ 时停止运动,点 $ Q $ 从点 $ B $ 开始沿 $ BC $ 边向点 $ C $ 以 $ 2 cm/s $ 的速度移动,到点 $ C $ 时停止运动.
(1)如果点 $ P $,$ Q $ 分别从点 $ A $,$ B $ 同时出发,那么几秒后,$ \triangle PBQ $ 的面积为 $ 4 cm^{2} $?
(2)如果点 $ P $,$ Q $ 分别从点 $ A $,$ B $ 同时出发,那么几秒后,$ PQ $ 的长度为 $ 5 cm $?
(3)在(1)中,$ \triangle PBQ $ 的面积能否为 $ 7 cm^{2} $? 请说明理由.
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答案： 解:设点$P$，$Q$运动的时间为$x\ s$，则由题意可知$AP = x\ cm$，$BQ = 2x\ cm$，$\therefore PB = (5 - x)\ cm$，$QC = (7 - 2x)\ cm$。
(1)$S_{\triangle PBQ}=\dfrac{1}{2}\cdot PB\cdot BQ=\dfrac{1}{2}(5 - x)\cdot 2x = 4$。解得$x_{1}=1$，$x_{2}=4$。当$x = 1$时，$5 - 1＞0$，$7 - 2×1＞0$，符合题意；当$x = 4$时，$5 - 4＞0$，$7 - 2×4＜0$，不符合题意，舍去。故$1\ s$后，$\triangle PBQ$的面积为$4\ cm^{2}$。
(2)由题意知$PQ^{2}=PB^{2}+BQ^{2}=(5 - x)^{2}+(2x)^{2}$。若$PQ = 5\ cm$，则$(5 - x)^{2}+(2x)^{2}=25$。解得$x_{1}=0$(舍去)，$x_{2}=2$。故$2\ s$后，$PQ$的长度为$5\ cm$。
(3)不能。理由:仿照
(1)，得$\dfrac{1}{2}(5 - x)\cdot 2x = 7$，整理，得$x^{2}-5x + 7 = 0$。$\because \Delta = 25 - 4×1×7 = - 3＜0$，$\therefore$此方程无解。$\therefore \triangle PBQ$的面积不能为$7\ cm^{2}$。

12. 如图,一块长 5 m、宽 4 m 的地毯,为了美观,设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的 $ \frac{17}{80} $.
(1)求配色条纹的宽度；
(2)如果地毯配色条纹部分每平方米的造价为 200 元,其余部分每平方米的造价为 100 元,求地毯的总造价.
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答案： 解:
(1)设配色条纹的宽度为$x\ m$，依题意，得$2x×5 + 2x×4 - 4x^{2}=\dfrac{17}{80}×5×4$。整理，得$16x^{2}-72x + 17 = 0$。解得$x_{1}=\dfrac{17}{4}$(不符合题意，舍去)，$x_{2}=\dfrac{1}{4}$。故配色条纹的宽度为$\dfrac{1}{4}\ m$。
(2)配色条纹部分的造价为$\dfrac{17}{80}×5×4×200 = 850$(元)，其余部分的造价为$\left(1 - \dfrac{17}{80}\right)×5×4×1000 = 1575$(元)，则总造价为$850 + 1575 = 2425$(元)。故地毯的总造价为$2425$元。