《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

9. 如果关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx + n = 0$ 的一个根是另一个根的 $2$ 倍,那么 $m,n$ 之间的关系为(B).
A.$2m^{2}= n$
B.$2m^{2}= 9n$
C.$m^{2}= 9n$
D.$m + n = 0$

答案： B

10. 已知 $a,b$ 是一元二次方程 $x^{2}-2x - 1 = 0$ 的两个实数根,则 $a^{2}+b^{2}+ab$ 的值为(C).
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$

答案： C

11. 【2023 泸州中考】若一个菱形的两条对角线长分别是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-10x + m = 0$ 的两个实数根,且其面积为 $11$,则该菱形的边长为(C).
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$

答案： C

12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 2)x^{2}+(2m + 1)x + m - 2 = 0$ 有两个不相等的正实数根,则 $m$ 的取值范围是(D).
A.$m＞\frac{3}{4}$
B.$m＞\frac{3}{4}$ 且 $m\neq2$
C.$-\frac{1}{2}＜m＜2$
D.$\frac{3}{4}＜m＜2$

答案： D

13. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + 2m = 0$ 有两个不相等的实数根.
(1)求 $m$ 的取值范围；
(2)若 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}+2x + 2m = 0$ 的两个根,且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 8$,求 $m$ 的值.

答案： 解：
(1)$\because$一元二次方程$x^{2}+2x+2m=0$有两个不相等的实数根，
$\therefore \Delta =2^{2}-4× 1× 2m=4-8m＞0$.
解得$m＜\dfrac{1}{2}$，即$m$的取值范围为$m＜\dfrac{1}{2}$.
(2)$\because x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}+2x+2m=0$的两个根，$\therefore x_{1}+x_{2}=-2$，$x_{1}\cdot x_{2}=2m$.
$\therefore x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}\cdot x_{2}=4-4m=8$，
解得$m=-1$.
$\because -1＜\dfrac{1}{2}$，$\therefore m$的值为$-1$.

14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(m + 2)x + m - 1 = 0$.
(1)求证：无论 $m$ 为何值,方程总有两个不相等的实数根；
(2)当 $m$ 为何值时,该方程两个根的倒数之和等于 $1$？

答案：
(1)证明：$\Delta =(m+2)^{2}-4× 1× (m-1)=m^{2}+8$.
$\because m^{2}\geqslant 0$，$\therefore m^{2}+8＞0$，即$\Delta ＞0$.
$\therefore$无论$m$为何值，方程总有两个不相等的实数根.
(2)解：设方程的两个根为$a,b$，则$a+b=-m-2$，$ab=m-1$.
根据题意得$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$，
$\therefore \dfrac{a+b}{ab}=1$，即$\dfrac{-m-2}{m-1}=1$，解得$m=-\dfrac{1}{2}$，
$\therefore$当$m=-\dfrac{1}{2}$时，该方程两个根的倒数之和等于1.