《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

7. 如图,在平面直角坐标系中,$C为\triangle AOB的OA$边上一点,$AC:OC= 1:2$,过点$C作CD// OB交AB于点D$,$C,D$两点的纵坐标分别为1,3,则点$B$的纵坐标为(C).

A.4
B.5
C.6
D.7

答案： C

8. 如图,$□ ABCD的对角线AC,BD交于点O$,$CE平分\angle BCD交AB于点E$,交$BD于点F$,且$\angle ABC= 60^{\circ},AB= 2BC$,连接$OE$.下列结论:
①$\angle ACD= 30^{\circ}$;
②$S_{□ ABCD}= AC\cdot BC$;
③$OE:AC= \sqrt{3}:6$;
④$S_{\triangle OCF}= 2S_{\triangle OEF}$,
其中成立的有(D).

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

答案： D

9. 如图,$M是正方形ABCD的边BC$上一点,$F是AM$的中点,过点$F作AM$的垂线,交$DC于点N$,交$AD的延长线于点E$.
(1)求证:$\triangle ABM\backsim\triangle EFA$;
(2)若正方形的边长为12,$MC= 7$,求$DE$的长.

答案：
(1)证明:
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DAB=90°.
∵EF⊥AM,
∴∠AFE=90°.
∴∠B=∠DAB=∠AFE.
∴∠BAM=∠AEF=90°−∠EAM.
∴△ABM∽△EFA.
(2)解:
∵正方形的边长为12,MC=7，
∴AD=AB=BC=12,BM=BC−CM=5.
∴$AM=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$.
∵F是AM的中点,
∴$AF=\frac{1}{2}AM=\frac{13}{2}$.由
(1)知△ABM∽△EFA,
∴$\frac{AF}{BM}=\frac{AE}{AM}$,即$\frac{\frac{13}{2}}{5}=\frac{AE}{13}$.
∴$AE=\frac{169}{10}$.
∴$DE=AE−AD=\frac{169}{10}-12=\frac{49}{10}$.

10. 【2024合肥期中】如图,在$\triangle PAB$中,$C,D为AB$边上的两个动点,$PC= PD$.
(1)若$PC\perp AB$(即$C,D$重合),则$\angle APB= $90°时,$\triangle APC\backsim\triangle PBD$;
(2)若$PC= CD,\angle APB= 120^{\circ}$,则$\triangle APC与\triangle PBD$相似吗? 为什么?
(3)当$\angle CPD和\angle APB$满足怎样的数量关系时,$\triangle APC\backsim\triangle PBD$? 请说明理由.

(2)结论:△APC∽△PBD.理由如下:
∵PC=PD=CD,
∴△PCD是等边三角形.
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°.
∴∠ACP=∠BDP=120°.
∴∠APC+∠BPD=∠APB−∠CPD=120°−60°=60°,
∵∠ACP=120°,
∴∠A+∠APC=60°.
∴∠A=∠BPD.
∴△APC∽△PBD.
(3)$2\angle APB - \angle CPD = 180^{\circ}$.理由如下:
∵PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC.
∴∠PCA=∠PDB.
∵△APC∽△PBD,
∴∠A=∠DPB.
∵∠APC+∠DPB=∠APB−∠CPD,
∴∠PCD=∠PDC=∠A+∠APC=∠APB −∠CPD.在△PCD中,$\angle PCD + \angle PDC + \angle CPD = 180^{\circ}$,
∴∠APB−∠CPD+∠APB−∠CPD+∠CPD=180°,即$2\angle APB - \angle CPD = 180^{\circ}$.

答案： 解:
(1)当∠APB=90°时,△APC∽△PBD.如图.
∵PD⊥AB,
∴∠APB=∠ADP=∠PDB=90°.
∴∠APD+∠DPB=90°,∠B+∠DPB=90°.
∴∠APD=∠B.
∴△APC∽△PBD.故答案为90°.
(2)结论:△APC∽△PBD.理由如下:
∵PC=PD=CD,
∴△PCD是等边三角形.
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°.
∴∠ACP=∠BDP=120°.
∴∠APC+∠BPD=∠APB−∠CPD=120°−60°=60°,
∵∠ACP=120°,
∴∠A+∠APC=60°.
∴∠A=∠BPD.
∴△APC∽△PBD.
(3)$2\angle APB - \angle CPD = 180^{\circ}$.理由如下:
∵PC=PD,
∴∠PCD=∠PDC.
∴∠PCA=∠PDB.
∵△APC∽△PBD,
∴∠A=∠DPB.
∵∠APC+∠DPB=∠APB−∠CPD,
∴∠PCD=∠PDC=∠A+∠APC=∠APB −∠CPD.在△PCD中,$\angle PCD + \angle PDC + \angle CPD = 180^{\circ}$,
∴∠APB−∠CPD+∠APB−∠CPD+∠CPD=180°,即$2\angle APB - \angle CPD = 180^{\circ}$.