《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

8. 若关于$x的一元二次方程x^{2}+2(k - 1)x + k^{2}-1 = 0$有实数根,则$k$的取值范围是(D)。
A.$k\geq1$
B.$k＞1$
C.$k＜1$
D.$k\leq1$

答案： D

9. 已知$y= \sqrt{k - 1}x + 1是关于x$的一次函数,则一元二次方程$kx^{2}+2x + 1 = 0$的根的情况为(A)。
A.没有实数根
B.有一个实数根
C.有两个不相等的实数根
D.有两个相等的实数根

答案： A

10. 若关于$x的一元二次方程x^{2}-2x + kb + 1 = 0$有两个不相等的实数根,则一次函数$y = kx + b$的大致图象可能是(B)。

答案： B

11. 关于$x的一元二次方程x^{2}+(2m + 1)x + m^{2}-1 = 0$有两个不相等的实数根。
(1)求$m$的取值范围；
(2)写出一个满足条件的$m$的值,并求此时方程的根。

答案： 解:
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^{2}+(2m+1)x+m^{2}-1=0$有两个不相等的实数根,
∴$Δ=(2m+1)^{2}-4(m^{2}-1)=4m+5＞0$,解得$m＞-\frac {5}{4}.$
(2)(答案不唯一)$m=1$,此时方程为$x^{2}+3x=0$,解得$x_{1}=0,x_{2}=-3.$

12. 定义新运算：对于任意实数$m$,$n都有m☆n = m^{2}n + n$,等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算。例如：$(-3)☆2 = (-3)^{2}×2 + 2 = 20$。根据以上知识解决问题：若$2☆a$的值小于 0,请判断方程$2x^{2}-bx + a = 0$的根的情况。

答案： 解:
∵2☆a的值小于0,
∴$4a+a=5a＜0$,解得$a＜0.$在方程$2x^{2}-bx+a=0$中,$Δ=(-b)^{2}-8a≥-8a＞0,$
∴方程$2x^{2}-bx+a=0$有两个不相等的实数根.

13. (新定义)如图,四边形$ACDE$是证明勾股定理时用到的一个图形,$a$,$b$,$c是Rt\triangle ABC和Rt\triangle BED$的边长,易知$AE= \sqrt{2}c$,这时我们把关于$x的形如ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”。请解决下列问题：
(1)求证：关于$x$的“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$必有实数根；
(2)若$x = -1$是“勾系一元二次方程”$ax^{2}+\sqrt{2}cx + b = 0$的一个根,且四边形$ACDE的周长是12\sqrt{2}$,求$ab$的值。

答案：
(1)证明:根据题意,得$Δ=(\sqrt {2}c)^{2}-4ab=2c^{2}-4ab.$$\because a^{2}+b^{2}=c^{2},$$\therefore 2c^{2}-4ab=2(a^{2}+b^{2})-4ab=2(a-b)^{2}≥0,$即$Δ≥0.$
∴勾系一元二次方程$ax^{2}+\sqrt {2}cx+b=0$必有实数根.
(2)解:当$x=-1$时,有$a-\sqrt {2}c+b=0$,即$a+b=\sqrt {2}c.$$\because 2a+2b+\sqrt {2}c=12\sqrt {2}$,即$2(a+b)+\sqrt {2}c=12\sqrt {2},$$\therefore 3\sqrt {2}c=12\sqrt {2}.\therefore c=4.$$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}=16,a+b=4\sqrt {2}.$$\because (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab,$$\therefore 32=16+2ab.$$\therefore ab=8.$