《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

知识点 黄金分割的定义
一般地,点 $ C $ 把线段 $ AB $ 分成两条线段 $ AC $ 和 $ BC(AC＞BC) $,如果 $ \dfrac{AC}{AB}= $$\frac{BC}{AC}$,那么称线段 $ AB $ 被点 $ C $ 黄金分割,点 C叫做线段 $ AB $ 的黄金分割点,$ AC $ 与 $ AB $ 的比叫做黄金比。

答案： $\frac{BC}{AC}$;点 C

【例】如图,在$ \triangle ABC $中,$ AB = AC $,$ \angle A = 36^{\circ} $,$ CD $ 平分 $ \angle ACB $ 交 $ AB $ 于点 $ D $。若 $ CA = 4 $,则 $ CB $ 等于(D)。

A.$ 2\sqrt{5}+2 $
B.$ \sqrt{5}+1 $
C.$ \sqrt{5}-1 $
D.$ 2\sqrt{5}-2 $

答案： D

1. 大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”。如图,$ P $ 为 $ AB $ 的黄金分割点$ (BP＜AP) $,如果 $ AB $ 的长度为 $ 8\,cm $,那么 $ AP $ 的长度是(A)。

A.$ (4\sqrt{5}-4)\,cm $
B.$ (4 - 2\sqrt{5})\,cm $
C.$ (8 - 2\sqrt{5})\,cm $
D.$ (12 - 4\sqrt{5})\,cm $

答案： A

2. 某校要举办国庆联欢会,主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体。如图,若舞台 $ AB $ 的长为 $ 20\,m $,$ C $ 为 $ AB $ 的一个黄金分割点$ (AC＜BC) $,则 $ AC $ 的长约为(结果精确到 $ 0.1\,m $)(B)。

A.$ 6.7\,m $
B.$ 7.6\,m $
C.$ 10.0\,m $
D.$ 12.4\,m $

答案： B

3. 【2023 达州中考】如图,乐器上的一根弦 $ AB = 80\,cm $,两个端点 $ A $,$ B $ 固定在乐器板面上,支撑点 $ C $ 是靠近点 $ B $ 的黄金分割点,支撑点 $ D $ 是靠近点 $ A $ 的黄金分割点,$ C $,$ D $ 之间的距离为____。

答案： $(80\sqrt{5}-160)cm$

4. 我们把有一个内角等于 $ 36^{\circ} $ 的等腰三角形称为黄金三角形。它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金分割比 $ \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} $。如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在边 $ AB $ 上,且 $ DB = DC = AC $,已知 $ \angle ACE = 108^{\circ} $,$ BC = 2 $。
(1) 求 $ \angle B $ 的度数,并写出图中所有的黄金三角形；
(2) 求 $ AD $ 的长。

答案： 解:
(1)$\because DB=DC=AC$,
$\therefore \angle B=\angle DCB$,$\angle CDA=\angle A$.
设$\angle B=x$,则$\angle DCB=x$,$\angle CDA=\angle A=2x$.
又$\because \angle ACE=108°$,$\therefore \angle B+\angle A=108°$,
即$x+2x=108°$.解得$x=36°$.
$\therefore \angle B=36°$.
黄金三角形:$\triangle BDC$,$\triangle CDA$,$\triangle BAC$.
(2)$\because \angle B=36°$,$\angle A=2\angle B=72°$,
$\therefore \angle ACB=72°$,$\therefore AB=BC$.
$\therefore \triangle BAC$是等腰三角形.
$\therefore \triangle BAC$是黄金三角形.
$\therefore \frac{AC}{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
$\because BC=2$,$\therefore AC=\sqrt{5}-1$.$\therefore BD=AC=\sqrt{5}-1$.
$\therefore AD=BA-BD=BC-BD=3-\sqrt{5}$.