《2025年新编基础训练九年级数学上册北师大版》

1. 如图,四边形 $ABCD$ 的四边相等,且面积为 $120\ cm^2$,对角线 $AC = 24\ cm$,则四边形 $ABCD$ 的周长为(A)。

A.$52\ cm$
B.$40\ cm$
C.$39\ cm$
D.$26\ cm$

答案： A

2. 如图,矩形 $ABCD$ 的两条对角线相交于点 $O$,$\angle AOD = 60°$,$AD = 2$,则 $AB$ 的长是(C)。

A.$2$
B.$4$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

答案： C

3. 【2024 锦州二模】如图,在平面直角坐标系中,矩形 $AOBC$ 的边 $OB$,$OA$ 分别在 $x$ 轴、$y$ 轴正半轴上,点 $D$ 在 $BC$ 边上,将矩形 $AOBC$ 沿 $AD$ 折叠,点 $C$ 恰好落在边 $OB$ 上的点 $E$ 处。若 $OA = 8$,$OB = 10$,则点 $D$ 的坐标是(B)。

A.$(10, 2)$
B.$(10, 3)$
C.$(10, 4)$
D.$(10, 5)$

答案： B

4. 如图,正方形 $ABCD$ 的边长为 $4$,点 $P$ 为正方形边上一动点,若点 $P$ 从点 $A$ 出发沿 $A \to D \to C \to B \to A$ 匀速运动一周。设点 $P$ 走过的路程为 $x$,$\triangle ADP$ 的面积为 $y$,则下列图象能大致反映 $y$ 与 $x$ 的函数关系的是(C)。

答案： C

5. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,$AB = 6$,点 $E$ 在边 $CD$ 上,且 $CE = 2DE$。将 $\triangle ADE$ 沿 $AE$ 对折至 $\triangle AFE$,延长 $EF$ 交边 $BC$ 于点 $G$,连接 $AG$,$CF$。下列结论：① $\triangle ABG \cong \triangle AFG$；② $BG = GC$；③ $EG = DE + BG$；④ $AG // CF$；⑤ $S_{\triangle FGC} = 3.6$。其中正确结论的个数是(D)。

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

答案： D

6. 如图,点 $P$ 是边长为 $5$ 的菱形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 上的一个动点,点 $M$,$N$ 分别是 $AB$,$BC$ 边上的中点,则 $MP + PN$ 的最小值是______。

5

答案： 5 解析:如图所示，
作点 M 关于 AC 的对称点 M'，
连接 M'N 交 AC 于点 P，
此时 MP+NP 有最小值，最小值为 M'N 的长.
∵菱形 ABCD 关于 AC 对称，
M 是 AB 边上的中点，
∴M'是 AD 的中点.
又
∵N 是 BC 边上的中点，
∴AM'//BN，AM'=BN.
∴四边形 ABNM'是平行四边形.
∴M'N=AB=5.
∴MP+NP=M'N=5，即 MP+NP 的最小值为 5.
故答案为 5.

7. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,点 $E$,$F$ 分别是 $CD$,$AD$ 边上一点($DF ＞ DE$),过点 $F$ 作 $FG \perp AE$ 于点 $H$,交 $BC$ 于点 $G$,连接 $EF$。若 $CG = 6$,$EF = 2\sqrt{5}$,则 $DE$ 的长为2。

答案： 2 解析:如图所示，过点 F 作 FL⊥BC 于点 L，
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=CD，∠D=∠C=∠BAD=90°.
∵FL⊥BC，
∴四边形 CDFL 为矩形，∠FLG=90°.
∴DF=CL，FL=CD=AD.
∵FG⊥AE，
∴∠FAH+∠AFH=90°.
∵∠HFL+∠AFH=90°，
∴∠FAH=∠HFL.
∴△FGL≌△AED(ASA).
∴GL=ED.
∵CG=6，
∴CL+GL=DF+DE=6.
∴DF=6 - DE.
在 Rt△DEF 中，
由勾股定理，得 DF²+DE²=EF²，
即 (6 - DE)²+DE²=(2√5)²，
解得 DE=2 或 DE=4(不符合题意，舍去).

8. 如图,在正方形 $ABCD$ 中,等边三角形 $AEF$ 的顶点 $E$,$F$ 分别在 $BC$ 和 $CD$ 上,求证：$\angle CEF = 45°$。

答案： 证明:
∵在正方形 ABCD 中，AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=∠C=90°，
在等边三角形 AEF 中，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=FD，
∴BC - BE=CD - FD，
∴CE=CF，
∴△CEF 是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°.