《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

7. 已知等腰三角形的两条边长分别为2和$2\sqrt {3}$,则这个三角形的面积为(D)
A.$\sqrt {3}$
B.$\sqrt {11}$
C.$2\sqrt {3}$
D.$\sqrt {3}或\sqrt {11}$

答案： 解：情况一：腰长为2，底边长为$2\sqrt{3}$
∵$2+2=4$，$2\sqrt{3}\approx3.464$，$4＞3.464$，满足三角形三边关系
底边上的高$h=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{4-3}=1$
面积$S=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1=\sqrt{3}$
情况二：腰长为$2\sqrt{3}$，底边长为2
底边上的高$h=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-1^2}=\sqrt{12-1}=\sqrt{11}$
面积$S=\frac{1}{2}×2×\sqrt{11}=\sqrt{11}$
综上，面积为$\sqrt{3}$或$\sqrt{11}$，答案选D。

8. 若对实数规定运算$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\end{vmatrix} = ad-bc$,则$\begin{vmatrix} 1&\sqrt {2}\\ -4&\sqrt {18}\end{vmatrix} = $$7\sqrt{2}$.

答案： 解：原式$=1×\sqrt{18}-\sqrt{2}×(-4)$
$=\sqrt{18}+4\sqrt{2}$
$=3\sqrt{2}+4\sqrt{2}$
$=7\sqrt{2}$
答案：$7\sqrt{2}$

9. 已知$a= \sqrt {2},b= \sqrt {20},\sqrt {0.016}$用a,b的代数式可表示为$\frac{1}{50}ab$.

答案： 解：$\sqrt{0.016}=\sqrt{\frac{160}{10000}}=\frac{\sqrt{160}}{100}=\frac{\sqrt{16×10}}{100}=\frac{4\sqrt{10}}{100}=\frac{\sqrt{10}}{25}$
因为$a = \sqrt{2}$，$b=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，所以$ab=\sqrt{2}×2\sqrt{5}=2\sqrt{10}$，则$\sqrt{10}=\frac{ab}{2}$
所以$\frac{\sqrt{10}}{25}=\frac{\frac{ab}{2}}{25}=\frac{ab}{50}$
故答案为$\frac{1}{50}ab$

10. 已知直角三角形的周长为$4+\sqrt {26}$,斜边为4,求该直角三角形的面积.

答案： 解：设该直角三角形的两条直角边分别为$a$，$b$。
因为直角三角形的周长为$4 + \sqrt{26}$，斜边为$4$，所以$a + b + 4 = 4 + \sqrt{26}$，化简得$a + b = \sqrt{26}$。
由勾股定理得$a^2 + b^2 = 4^2 = 16$。
又因为$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，所以$2ab = (a + b)^2 - (a^2 + b^2)$，将$a + b = \sqrt{26}$，$a^2 + b^2 = 16$代入，得$2ab = (\sqrt{26})^2 - 16 = 26 - 16 = 10$，即$ab = 5$。
所以该直角三角形的面积$S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}×5 = \frac{5}{2}$。
答：该直角三角形的面积为$\frac{5}{2}$。

我们已经学过了一元一次方程、二元一次方程、分式方程、一元二次方程,这些方程都可以归为有理方程,像被开方式中含有未知数的方程我们可以叫做无理方程,例如：$\sqrt {x+2}= x$.
解无理方程的基本思路是：运用“化归”的数学思想,通过“两边平方法”将它化为有理方程.
“两边平方法”的一般步骤：
①等式两边分别平方,把原方程化为有理方程；
②解这个有理方程；
③验根并作答：将解得的根代入原无理方程检验。
【尝试解决】
解方程：(1)$\sqrt {x+2}= x$.
(2)$\sqrt {3x-2}+\sqrt {x+3}= 3$.

答案： 【尝试解决】
@@
(1) 解：等式两边分别平方得：$x + 2 = x^2$，整理得：$x^2 - x - 2 = 0$，因式分解得：$(x - 2)(x + 1) = 0$，解得：$x_1 = 2$，$x_2 = -1$，经检验：当$x = -1$时，左边$\sqrt{-1 + 2} = 1$，右边$-1$，左边≠右边，所以$x_2 = -1$是原方程的增根（应舍去）；当$x = 2$时，左边$\sqrt{2 + 2} = 2$，右边$2$，左边=右边，所以$x_1 = 2$是原方程的解。
(2) 解：移项得：$\sqrt{3x - 2} = 3 - \sqrt{x + 3}$，等式两边分别平方得：$3x - 2 = 9 - 6\sqrt{x + 3} + x + 3$，化简得：$2x - 14 = -6\sqrt{x + 3}$，即$x - 7 = -3\sqrt{x + 3}$，等式两边分别平方得：$x^2 - 14x + 49 = 9(x + 3)$，整理得：$x^2 - 23x + 22 = 0$，因式分解得：$(x - 22)(x - 1) = 0$，解得：$x_1 = 22$，$x_2 = 1$，经检验：当$x = 22$时，左边$\sqrt{3×22 - 2} + \sqrt{22 + 3} = \sqrt{64} + \sqrt{25} = 8 + 5 = 13$，右边$3$，左边≠右边，所以$x_1 = 22$是原方程的增根（应舍去）；当$x = 1$时，左边$\sqrt{3×1 - 2} + \sqrt{1 + 3} = \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$，右边$3$，左边=右边，所以$x_2 = 1$为原方程的解。