《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

1. 检查一个门框(已知两组对边分别相等)是不是矩形,不可用的方法是(C)
A.测量两条对角线是否相等
B.用重锤线检查竖门框是否与地面垂直
C.测量两条对角线是否互相平分
D.测量门框的三个角,是否都是直角

答案： 解：已知门框两组对边分别相等，即门框为平行四边形。
A. 平行四边形对角线相等则为矩形，可用。
B. 竖门框与地面垂直，即有一个角为直角，平行四边形有一个直角则为矩形，可用。
C. 平行四边形对角线本身互相平分，无法判断是否为矩形，不可用。
D. 三个角为直角的四边形是矩形，可用。
答案：C

2. 如图,四边形ABCD为矩形,过点D作对角线BD的垂线,交BC的延长线于点E,取BE的中点F,连接DF,$DF= 4$,设$AB= x,AD= y$,则$x^{2}+(y-4)^{2}$的值为( )D

A.4
B.8
C.12
D.16

答案： 解：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD=x，AD=BC=y，∠BCD=90°，AD//BC．
∵DE⊥BD，F为BE中点，
∴DF=BF=EF=4（直角三角形斜边中线等于斜边一半）．
设CF=m，则BF=BC+CF=y+m=4，
∴CE=EF-CF=4-m，
∴CD²+CE²=DE²，即x²+(4-m)²=DE²．
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBE，
∵∠A=∠BDE=90°，
∴△ABD∽△DEB，
∴$\frac{AB}{DE}=\frac{AD}{BD}$，即$\frac{x}{DE}=\frac{y}{BD}$，
∴BD·x=DE·y，两边平方得BD²·x²=DE²·y²．
∵BD²=x²+y²，DE²=x²+(4-m)²，
∴(x²+y²)x²=[x²+(4-m)²]y²，
整理得x²= y²(4-m)² - x²y² / x²，
化简得x²=(y(4-m))² - x²y² / x²（此步可简化，直接利用BF=4=y+m得m=4-y，代入CE=4-m=y），
∵m=4-y，
∴CE=4-m=y，
∴DE²=x²+y²，
在Rt△DEF中，DF²=DE²+EF² - 2DE·EF·cos∠DEF（此步错误，应直接用CF=4-y，CD=x，DF=4，在Rt△DCF中，DF²=CD²+CF²，
即4²=x²+(4-y)²，
∴x²+(y-4)²=16．
答案：D