《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

8. 已知关于x的一元二次方程$a x ^ { 2 } + b x + 1 = 0 ( a \neq 0 )$,下列语句正确的是(C)
A.若$a + b = 1$,则方程$a x ^ { 2 } + b x + 1 = 0$必有实数根
B.若方程$a x ^ { 2 } + b x + 1 = 0$两根为-1和2,则$b = - 1$
C.若方程$a x ^ { 2 } + 1 = 0$有两个不相等实根,则方程$a x ^ { 2 } + b x + 1 = 0$必有两个不相等的实数根
D.若$a = 0$,则方程$a x ^ { 2 } + b x + 1 = 0$必定无实数根

答案： 解：A. 若$a + b = 1$，则$b = 1 - a$，方程为$ax^2 + (1 - a)x + 1 = 0$，判别式$\Delta=(1 - a)^2 - 4a = 1 - 2a + a^2 - 4a = a^2 - 6a + 1$。当$a=1$时，$\Delta=1 - 6 + 1=-4\lt0$，方程无实根，A错误。
B. 由韦达定理，$-1 + 2=-\frac{b}{a}$，$-1×2=\frac{1}{a}$，解得$a=-\frac{1}{2}$，则$-\frac{b}{a}=1$，$b=-\frac{1}{2}$，B错误。
C. 方程$ax^2 + 1 = 0$有两不等实根，$\Delta=0 - 4a\gt0$，$a\lt0$。方程$ax^2 + bx + 1 = 0$判别式$\Delta=b^2 - 4a$，因$a\lt0$，$-4a\gt0$，$\Delta=b^2 - 4a\gt0$，必有两不等实根，C正确。
D. $a=0$时，方程为$bx + 1 = 0$，若$b≠0$，有实根$x=-\frac{1}{b}$，D错误。
答案：C

9. 已知m,n满足$m ^ { 2 } - 13 m = - 36$,$n ^ { 2 } - 13 n = - 36$,则$m - n$的值是$\pm 5$或$0$.

答案： 解：由题意知，m、n是方程$x^2 - 13x + 36 = 0$的两根。
解方程$x^2 - 13x + 36 = 0$，
$(x - 4)(x - 9) = 0$，
得$x_1 = 4$，$x_2 = 9$。
情况1：当$m = 4$，$n = 9$时，$m - n = 4 - 9 = -5$；
情况2：当$m = 9$，$n = 4$时，$m - n = 9 - 4 = 5$；
情况3：当$m = n$时，$m - n = 0$。
综上，$m - n$的值是$\pm 5$或$0$。

设方程$x ^ { 2 } - 2 x - 7 = 0$的两根为$x _ { 1 }$,$x _ { 2 }$.则有$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 2 , } \\ { x _ { 1 } \cdot x _ { 2 } = - 7 . } \end{array} \right.$
设所求的方程为$y ^ { 2 } + p y + q = 0$,且其两根为$y _ { 1 }$,$y _ { 2 }$,
则根据题意得：$\begin{cases}{ y _ { 1 } + y _ { 2 } = - p = 2 x _ { 1 } + 2 x _ { 2 } = } \\ { y _ { 1 } \cdot y _ { 2 } = q = 2 x _ { 1 } \cdot 2 x _ { 2 } = }\end{cases}$4,$-28$.
于是所求的方程为$y^2 - 4y - 28 = 0$.(注：所求方程不唯一)
【尝试解决】
构造一个一元二次方程,使它的根分别是方程$3 x ^ { 2 } + 2 x - 6 = 0$各个根的相反数.
解：设方程$3x^2 + 2x - 6 = 0$的两根为$x_1$，$x_2$，由韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}$，$x_1x_2 = -2$。设所求方程的两根为$y_1$，$y_2$，则$y_1 = -x_1$，$y_2 = -x_2$，$y_1 + y_2 = -x_1 - x_2 = -(x_1 + x_2) = \frac{2}{3}$，$y_1y_2 = (-x_1)(-x_2) = x_1x_2 = -2$，所求方程为$y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$，即$y^2 - \frac{2}{3}y - 2 = 0$，两边同乘$3$得$3y^2 - 2y - 6 = 0$。

答案： 4 $-28$ $y^2 - 4y - 28 = 0$（注：所求方程不唯一）
@@解：设方程$3x^2 + 2x - 6 = 0$的两根为$x_1$，$x_2$，由韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}$，$x_1x_2 = -2$。设所求方程的两根为$y_1$，$y_2$，则$y_1 = -x_1$，$y_2 = -x_2$，$y_1 + y_2 = -x_1 - x_2 = -(x_1 + x_2) = \frac{2}{3}$，$y_1y_2 = (-x_1)(-x_2) = x_1x_2 = -2$，所求方程为$y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$，即$y^2 - \frac{2}{3}y - 2 = 0$，两边同乘$3$得$3y^2 - 2y - 6 = 0$。$3y^2 - 2y - 6 = 0$