《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

【生活情境】斐波那契(约1170—1250)是意大利数学家,他研究的“斐波那契数列”(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)非常奇妙.后来,人们在研究它的过程中发现了许多意想不到的结果.在实际生活中,许多植物(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的花瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用$\frac {1}{\sqrt {5}}[(\frac {1+\sqrt {5}}{2})^{n}-(\frac {1-\sqrt {5}}{2})^{n}](n≥1)$表示.

斐波那契

【问题提出】通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
【问题分析】分别把n= 1和n= 2代入上式进行计算,即可算出斐波那契数列中的第1个数和第2个数.
【问题解决】
【问题反思】$\frac {1}{\sqrt {5}}[(\frac {1+\sqrt {5}}{2})^{n}-(\frac {1-\sqrt {5}}{2})^{n}](n≥1)$又称为“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个经典范例,解决这类问题的关键在于根式的运算.

答案： 当$n=1$时，$\frac {1}{\sqrt {5}}[(\frac {1+\sqrt {5}}{2})^{1}-(\frac {1-\sqrt {5}}{2})^{1}]=\frac {1}{\sqrt {5}}\cdot \frac {1+\sqrt {5}-(1-\sqrt {5})}{2}=\frac {1}{\sqrt {5}}\cdot\frac {2\sqrt {5}}{2}=1$当$n=2$时，$\frac {1}{\sqrt {5}}[(\frac {1+\sqrt {5}}{2})^{2}-(\frac {1-\sqrt {5}}{2})^{2}]=\frac {1}{\sqrt {5}}\cdot \frac {6+2\sqrt {5}-(6-2\sqrt {5})}{4}=\frac {1}{\sqrt {5}}\cdot \frac {4\sqrt {5}}{4}=1$