《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

【生活情境】各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交叉点)上的多边形被称为格点多边形.奥地利数学家皮克证明了格点多边形的面积公式,即格点多边形内的格点数为a,边界上的格点数为b,格点多边形的面积为S,则$S= ma+nb-1$(其中m,n为常数).那么m,n是多少呢?下面我们来进行探究.
【问题提出】观察发现,图中四个图形内的格点数a均为4,但各多边形边界上的格点数b和面积是不同的,请完成下表内容的填写并探究m,n的值.

|图形|①|②|③|④|
|a(个)|4|4|4|4|
|b(个)| | | | |
|S(平方单位)| | | | |
【问题分析】代入a,b,解关于m,n的二元一次方程组,从而求得m,n的值.
【问题解决】
【问题反思】数学学习中,方法迁移很重要,我们要结合已学方法和知识来解决新问题,透彻理解新概念和新知识.

答案： 图形 图① 图② 图③ 图④|b(个)|5|6|7|8||S(平方单位)|5.5|6|6.5|7|
@@解方程组$\begin{cases}6 = 4m + 6n - 1,\\7 = 4m + 8n - 1,\end{cases}$得$\begin{cases}m = 1,\\n = \dfrac{1}{2},\end{cases}$ $\therefore S = a + \dfrac{1}{2}b - 1$。