《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

1. 要使二次根式$\sqrt {1-2x}$有意义,则x的取值范围是(C)
A.$x≥\frac {1}{2}$
B.$x＞\frac {1}{2}$
C.$x≤\frac {1}{2}$
D.$x＜\frac {1}{2}$

答案： 要使二次根式$\sqrt{1 - 2x}$有意义，被开方数必须是非负数，即：
$1 - 2x \geq 0$
解不等式：
$-2x \geq -1$
$x \leq \frac{1}{2}$
答案：C

2. 如果$\sqrt {(x-3)^{2}}= 3-x$,则x的取值范围是(C)
A.$x≥3$
B.$x＞3$
C.$x≤3$
D.$x＜3$

答案： 解：因为$\sqrt{(x - 3)^2} = |x - 3|$，又$\sqrt{(x - 3)^2} = 3 - x$，所以$|x - 3| = 3 - x$。根据绝对值的性质，当$a \leq 0$时，$|a| = -a$，所以$x - 3 \leq 0$，即$x \leq 3$。
答案：C

3. 下列运算和化简中,正确的是(D)
A.$\sqrt {(-4)×(-9)}= \sqrt {-4}×\sqrt {-9}= (-2)×(-3)= 6$
B.$\sqrt {1\frac {9}{16}}= 1\frac {3}{4}$
C.$\sqrt {5^{2}+12^{2}}= 5+12= 17$
D.$\sqrt {\frac {5}{3}}= \frac {\sqrt {15}}{3}$

答案： 解：
A. $\sqrt{(-4)×(-9)}=\sqrt{36}=6$，原计算中$\sqrt{-4}$、$\sqrt{-9}$无意义，错误；
B. $\sqrt{1\frac{9}{16}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}$，原计算错误；
C. $\sqrt{5^2 + 12^2}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}=13$，原计算错误；
D. $\sqrt{\frac{5}{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3}$，正确。
结论：D

4. 已知x,y都是实数,且$y= \sqrt {3x-1}+\sqrt {1-3x}+2$,则$x^{y}$的值为$\frac{1}{9}$.

答案： 要使根式有意义，则根号下的数须非负，即：
$\begin{cases}3x - 1 \geq 0 \\1 - 3x \geq 0\end{cases}$
解不等式$3x - 1 \geq 0$，得$x \geq \frac{1}{3}$；解不等式$1 - 3x \geq 0$，得$x \leq \frac{1}{3}$。所以$x = \frac{1}{3}$。
将$x = \frac{1}{3}$代入$y = \sqrt{3x - 1} + \sqrt{1 - 3x} + 2$，得：
$y = \sqrt{3×\frac{1}{3} - 1} + \sqrt{1 - 3×\frac{1}{3}} + 2 = \sqrt{0} + \sqrt{0} + 2 = 2$
则$x^y = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$。
$\frac{1}{9}$

5. 已知$2≤x≤6$,化简:$\sqrt {(x-6)^{2}}-\sqrt {(2-x)^{2}}= $$8 - 2x$.

答案： 解：因为$2\leq x\leq6$，所以$x - 6\leq0$，$2 - x\leq0$。
$\sqrt{(x - 6)^2} = |x - 6| = 6 - x$
$\sqrt{(2 - x)^2} = |2 - x| = x - 2$
则$\sqrt{(x - 6)^2} - \sqrt{(2 - x)^2} = (6 - x) - (x - 2) = 6 - x - x + 2 = 8 - 2x$
答案：$8 - 2x$

6. 观察下列各式:
$\sqrt {1+\frac {1}{1^{2}}+\frac {1}{2^{2}}}= 1+\frac {1}{1}-\frac {1}{2}= 1\frac {1}{2}$;
$\sqrt {1+\frac {1}{2^{2}}+\frac {1}{3^{2}}}= 1+\frac {1}{2}-\frac {1}{3}= 1\frac {1}{6}$;
$\sqrt {1+\frac {1}{3^{2}}+\frac {1}{4^{2}}}= 1+\frac {1}{3}-\frac {1}{4}= 1\frac {1}{12}$.
请你根据上面三个等式提供的信息,猜想:
(1)$\sqrt {1+\frac {1}{4^{2}}+\frac {1}{5^{2}}}= $$1\frac{1}{20}$.
(2)按照上述等式反映的规律,写出用n(n为正整数)表示的等式:$\sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{2}}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1\frac{1}{n(n + 1)}$（$ n \geq 1 $ 的整数）.
(3)利用上述规律计算:$\sqrt {\frac {50}{49}+\frac {1}{64}}$(仿照上式写出过程).
$\sqrt{\frac{50}{49} + \frac{1}{64}} = \sqrt{1 + \frac{1}{49} + \frac{1}{64}} = 1 + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = 1\frac{1}{56}$

答案：
(1) $ 1\frac{1}{20} $
(2) $ \sqrt{1 + \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n + 1)^{2}}} = 1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} = 1\frac{1}{n(n + 1)} $（$ n \geq 1 $ 的整数）
(3) $ \sqrt{\frac{50}{49} + \frac{1}{64}} = \sqrt{1 + \frac{1}{49} + \frac{1}{64}} = 1 + \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = 1\frac{1}{56} $