《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

【生活情境】100多年前,德国数学家雷米欧斯提出了一个问题:已知在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线BD与CE相等.求证:△ABC是等腰三角形.德国著名数学家施坦纳用反证法证明了这个结论,并使它成为一个定理,被称为“斯坦纳—雷米欧斯定理”.虽然后来数学爱好者们共发现了60多种证明方法,但还是反证法最为简洁.你能运用反证法证明这个定理吗?

【问题分析】反证法的关键步骤是确定反命题是什么.如图,本题中先假设△ABC中AB≠AC,不妨设AB＞AC,构造□BFCD后,通过推理得出矛盾,从而证明结论成立.
【问题解决】
【问题反思】反证法就是先假设命题不成立,即反命题成立,再由此进行逻辑推理得出与已知、定理、公理或定义等相矛盾的结论,也可以从两个不同角度进行逻辑推理得出互相矛盾的结论,从而说明假设不成立,那么原结论成立.

答案： 假设△ABC中AB＞AC，则∠B＜∠C，由于BD，CE是角平分线，则∠EBI＜∠DCI。在△BEI与△DCI中，有∠EIB=∠DIC，从而可得∠BEC＞∠BDC ①。但是在△BCE与△CBD中，因BD=CE，BC是公共边，所以∠BCE＞∠CBD，则BE＞CD。作□BFCD，连结EF，由BE＞CD=BF，则∠1＜∠2。又CE=BD=CF，则∠3=∠4，即∠BEC＜∠BFC=∠BDC ②。由此可知①与②矛盾，则AB不大于AC，同理AC不大于AB，故AB=AC。