《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

9. 如图,要求在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.小米的作法是：连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.小米的依据是对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

答案： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形

10. 如图,四边形ABCD中,$AB// CD$,AC平分$\angle BAD$,$CE// AD$交AB于E.
(1) 求证：四边形AECD是菱形.
(2) 如果点E是AB的中点,$AC= 4$,$EC= 2.5$,求四边形ABCD的面积.

答案：
(1) 证明: $\because AB // CD$, $CE // AD$,
$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是平行四边形.
$\because AC$ 平分 $\angle BAD$,
$\therefore \angle EAC = \angle DAC$.
$\because AB // CD$,
$\therefore \angle EAC = \angle ACD$,
$\therefore \angle DAC = \angle ACD$,
$\therefore AD = CD$,
$\therefore$ 四边形 $AECD$ 是菱形.
(2) 解: $\because$ 四边形 $AECD$ 是菱形,
$\therefore AE = CE$,
$\therefore \angle EAC = \angle ACE$.
$\because$ 点 $E$ 是 $AB$ 的中点,
$\therefore AE = BE$,
$\therefore BE = CE$,
$\therefore \angle B = \angle ECB$.
$\because \angle EAC + \angle ACE + \angle B + \angle ECB = 180^\circ$,
$\therefore 2(\angle ACE + \angle ECB) = 180^\circ$,
$\therefore \angle ACE + \angle ECB = 90^\circ$, 即 $\angle ACB = 90^\circ$.
$\because$ 点 $E$ 是 $AB$ 的中点, $EC = 2.5$,
$\therefore AB = 2EC = 5$.
在 $\text{Rt}\triangle ACB$ 中, $AC = 4$,
$\therefore BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$.
$\therefore S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} × AC × BC = \frac{1}{2} × 4 × 3 = 6$.
$\because$ 点 $E$ 是 $AB$ 的中点,
$\therefore S_{\triangle AEC} = S_{\triangle BEC} = \frac{1}{2}S_{\triangle ABC} = 3$.
$\because$ 四边形 $AECD$ 是菱形,
$\therefore S_{\triangle ACD} = S_{\triangle AEC} = 3$.
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 的面积 $= S_{\triangle AEC} + S_{\triangle BEC} + S_{\triangle ACD} = 3 + 3 + 3 = 9$.