《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

【尝试解决】
(1)用配方法证明：无论x取何值时,代数式$x^{2}-x+1$的值总大于0.
证明：$x^2 - x + 1$$=x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1$$=(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$$\because (x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$$\therefore (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} ＞ 0$$\therefore$ 无论$x$取何值，代数式$x^2 - x + 1$的值总大于$0$。
(2)请用配方法说明代数式$2x^{2}-8x+1$有最大值还是最小值？若有,请求出该值,并说出此时x为何值；若没有,请说明理由.
解：$2x^2 - 8x + 1$$=2(x^2 - 4x) + 1$$=2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1$$=2[(x - 2)^2 - 4] + 1$$=2(x - 2)^2 - 8 + 1$$=2(x - 2)^2 - 7$$\because (x - 2)^2 \geq 0$$\therefore 2(x - 2)^2 \geq 0$$\therefore 2(x - 2)^2 - 7 \geq -7$$\therefore$ 当$x = 2$时，代数式$2x^2 - 8x + 1$有最小值，最小值为$-7$。
变式：代数式$\frac {5x^{2}-10x+18}{x^{2}-2x+2}$有最大值或最小值吗？若有,求出当x为何值时代数式$\frac {5x^{2}-10x+18}{x^{2}-2x+2}$取得最大值或最小值,并求出这个最大值或最小值.
解：设 $ y = \frac{5x^2 - 10x + 18}{x^2 - 2x + 2} $，则 $ y(x^2 - 2x + 2) = 5x^2 - 10x + 18 $， 整理得 $ (y - 5)x^2 + (-2y + 10)x + (2y - 18) = 0 $。 当 $ y \neq 5 $ 时，此方程为关于 $ x $ 的一元二次方程， 判别式 $ \Delta = (-2y + 10)^2 - 4(y - 5)(2y - 18) \geq 0 $， 化简得 $ -4(y - 5)(y - 13) \geq 0 $，即 $ (y - 5)(y - 13) \leq 0 $， 解得 $ 5 ＜ y \leq 13 $。 当 $ y = 13 $ 时，方程化为 $ 8x^2 - 16x + 8 = 0 $，即 $ (x - 1)^2 = 0 $，解得 $ x = 1 $。 综上，代数式有最大值，当 $ x = 1 $ 时，最大值为 $ 13 $。

答案：
(1)证明：$x^2 - x + 1$$=x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 1$$=(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$$\because (x - \frac{1}{2})^2 \geq 0$$\therefore (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} \geq \frac{3}{4} ＞ 0$$\therefore$ 无论$x$取何值，代数式$x^2 - x + 1$的值总大于$0$。
(2)解：$2x^2 - 8x + 1$$=2(x^2 - 4x) + 1$$=2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1$$=2[(x - 2)^2 - 4] + 1$$=2(x - 2)^2 - 8 + 1$$=2(x - 2)^2 - 7$$\because (x - 2)^2 \geq 0$$\therefore 2(x - 2)^2 \geq 0$$\therefore 2(x - 2)^2 - 7 \geq -7$$\therefore$ 当$x = 2$时，代数式$2x^2 - 8x + 1$有最小值，最小值为$-7$。
@@解：设 $ y = \frac{5x^2 - 10x + 18}{x^2 - 2x + 2} $，则 $ y(x^2 - 2x + 2) = 5x^2 - 10x + 18 $， 整理得 $ (y - 5)x^2 + (-2y + 10)x + (2y - 18) = 0 $。 当 $ y \neq 5 $ 时，此方程为关于 $ x $ 的一元二次方程， 判别式 $ \Delta = (-2y + 10)^2 - 4(y - 5)(2y - 18) \geq 0 $， 化简得 $ -4(y - 5)(y - 13) \geq 0 $，即 $ (y - 5)(y - 13) \leq 0 $， 解得 $ 5 ＜ y \leq 13 $。 当 $ y = 13 $ 时，方程化为 $ 8x^2 - 16x + 8 = 0 $，即 $ (x - 1)^2 = 0 $，解得 $ x = 1 $。 综上，代数式有最大值，当 $ x = 1 $ 时，最大值为 $ 13 $。