《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

5. 如图,在平面直角坐标系中,已知点$A(3,0),B(-1,0),C(0,2)$,则以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(4,2)或(-4,2)或(2,-2).

答案： 解：设点D的坐标为(x,y)。
情况1：以AB为对角线。
AB中点坐标为((3-1)/2, (0+0)/2)=(1,0)。
∵平行四边形对角线互相平分，
∴C、D中点也为(1,0)，即(0+x)/2=1，(2+y)/2=0，
解得x=2，y=-2，
∴D(2,-2)。
情况2：以AC为对角线。
AC中点坐标为((3+0)/2, (0+2)/2)=(1.5,1)。
∵平行四边形对角线互相平分，
∴B、D中点也为(1.5,1)，即(-1+x)/2=1.5，(0+y)/2=1，
解得x=4，y=2，
∴D(4,2)。
情况3：以BC为对角线。
BC中点坐标为((-1+0)/2, (0+2)/2)=(-0.5,1)。
∵平行四边形对角线互相平分，
∴A、D中点也为(-0.5,1)，即(3+x)/2=-0.5，(0+y)/2=1，
解得x=-4，y=2，
∴D(-4,2)。
综上，点D的坐标为(4,2)或(-4,2)或(2,-2)。

6. 如图,在四边形ABCD中$AB= CD$,过A作$AE⊥BD$交BD于点E,过C作$CF⊥BD$交BD于F,且$AE= CF$.求证:四边形ABCD是平行四边形.

答案： 证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°。
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD,\\ AE=CF,\end{array}\right.$
∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）。
∴∠ABE=∠CDF。
∴AB//CD。
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。

7. 已知直角坐标系内有四个点$O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1)$,若以O,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则$x= $4或者-2.

答案： 解：
情况一：当OA为平行四边形的一条边时，
若OB为对角线，则$x + 3 = 1 + 0$，解得$x = -2$；
若AB为对角线，则$x + 0 = 3 + 1$，解得$x = 4$。
情况二：当OA为平行四边形的对角线时，
$3 + 0 = 1 + x$，解得$x = 2$（经检验，此时四点构不成平行四边形，舍去）。
综上，$x = 4$或$x = -2$。
答案：4或者-2

8. 某人在设计装饰地面的图案时,拟以长为22 cm,16 cm,18 cm的三条线段中的两条为对角线,另一条为边,设计不同形状的平行四边形,他可以画出(B)个形状不同的平行四边形.
A.1
B.2
C.3
D.4

答案： 解：根据平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系（两边之和大于第三边），分三种情况讨论：
情况1：以22cm、16cm为对角线，18cm为边。
对角线一半分别为11cm、8cm。
∵11+8=19＞18，11-8=3＜18，满足三角形三边关系，可构成平行四边形。
情况2：以22cm、18cm为对角线，16cm为边。
对角线一半分别为11cm、9cm。
∵11+9=20＞16，11-9=2＜16，满足三角形三边关系，可构成平行四边形。
情况3：以16cm、18cm为对角线，22cm为边。
对角线一半分别为8cm、9cm。
∵8+9=17＜22，不满足三角形三边关系，不可构成平行四边形。
综上，可画出2个形状不同的平行四边形。
答案：B