《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

【生活情境】韦达(1540—1603),法国数学家.他年轻时当过律师,后来致力于数学研究,发现了方程根与系数的关系.人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”.在法国和西班牙的战争中,韦达用巧妙的数学方法破译了西班牙的军事密码,为国家赢得了战争的主动权,可怜的西班牙国王还认为法国人是使用了“魔法”未卜先知.
【问题提出】如图是一个一元二次方程简单的密码程序,若要求输出结果为2019,那么你应该输入的a,b,c的值分别是多少？(注：$\Delta = b ^ { 2 } - 4 a c$)

【问题分析】程序中输入的a,b,c实质上就是一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,最后输出的W其实就是两根之和,D其实就是两根之积,符合韦达定理.故我们根据韦达定理可知,输入的a,b,c只需要满足$- \frac { b } { a } = 20$,$\frac { c } { a } = 19$即可.
【问题解决】
【问题反思】韦达发现的方程(在中学阶段主要是一元二次方程)体现了根与系数之间的关系,在减少运算量、整体解决问题方面具有独特的作用.利用韦达定理可以实现设而不求、整体换元,给计算带来很大方便.但是,我们应该在理解的基础上运用韦达定理：由已知一元二次方程的一个根求出另一个根,会求两根的倒数和、平方和以及两根之差等代数式的值.

答案： 答案不唯一，如 $ a = 1 $，$ b = -20 $，$ c = 19 $