《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

6. 如图,在$\triangle ABC$中,点D是AB边上一点,$AC= AD$,连接CD.点O是CD中点,连接AO并延长AO交BC于点E,连接ED.过点D作$DF// BC$交AE于点F,连接CF. 求证：四边形CEDF是菱形.

答案： 证明：
∵ $AC = AD$，点 $O$ 是 $CD$ 中点，
∴ $AO \perp CD$（等腰三角形三线合一），
∴ $CF = DF$（线段垂直平分线上的点到两端距离相等），
∴ $\angle FCD = \angle FDC$（等边对等角）。
∵ $DF // BC$，
∴ $\angle FDC = \angle DCE$（两直线平行，内错角相等），
∴ $\angle FCD = \angle ECD$（等量代换）。
在 $\triangle FCO$ 和 $\triangle ECO$ 中，
$\begin{cases} \angle FCO = \angle ECO, \\ CO = CO, \\ \angle FOC = \angle EOC = 90^\circ, \end{cases}$
∴ $\triangle FCO \cong \triangle ECO$（ASA），
∴ $FC = CE$（全等三角形对应边相等），
∴ $CE = DF$（等量代换）。
∵ $DF // CE$，
∴ 四边形 $CEDF$ 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
又
∵ $CF = DF$，
∴ 四边形 $CEDF$ 是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。

7. 如图是一张平行四边形纸片ABCD,要求利用所学知识将它变成一个菱形,甲、乙两位同学的作法分别如下：
甲：连接AC,作AC的中垂线交AD,BC于E,F,则四边形AFCE是菱形.
对于甲、乙两人的作法,可判断(C)

A.甲正确,乙错误
B.甲错误,乙正确
C.甲、乙均正确
D.甲、乙均错误

答案： 甲的作法判断：
证明：
1. 连接AC，作AC的中垂线交AD于E，交BC于F，设中垂线与AC交于点O。
2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠EAO=∠FCO。
3.
∵EF是AC的中垂线，
∴AO=CO，∠AOE=∠COF=90°。
4. 在△AOE和△COF中，∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF。
5.
∵AD//BC，AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形。
6.
∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC（中垂线性质）。
7.
∴平行四边形AFCE是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
乙的作法判断：
证明：
1. 作∠A的平分线AE交BC于E，作∠B的平分线BF交AD于F，AE与BF交于点O。
2.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠AFB=∠FBE，∠FAE=∠AEB。
3.
∵BF平分∠B，
∴∠ABF=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF。
4.
∵AE平分∠A，
∴∠BAE=∠FAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE。
5.
∵AF=AB=BE，且AD//BC，
∴四边形ABEF是平行四边形。
6.
∵AB=AF，
∴平行四边形ABEF是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）。
结论：甲、乙均正确。
答案：C

8. 在四边形ABCD中,给出四个条件：①$AB= CD$,②$AD// BC$,③$AC\bot BD$,④AC平分$\angle BAD$,由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形,你认为这三个条件是①③④或②③④.(填序号)

答案： 解：情况一：条件①③④
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB=CD，AC=AC，
假设AD=AD（公共边），无法直接证明全等，此思路有误。重新证明：
设AC与BD交于点O，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=∠AOD=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAO=∠DAO，
又
∵AO=AO，
∴△AOB≌△AOD（ASA），
∴AB=AD，BO=DO，
∵AB=CD，
∴AD=CD，
同理可证△COD≌△COB（SAS），
∴BC=CD，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形。
情况二：条件②③④
∵AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC，
设AC与BD交于点O，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=∠COB=90°，
又
∵BO=BO，
∴△AOB≌△COB（SAS），
∴AO=CO，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∠DAO=∠BCO，
∴△AOD≌△COB（AAS），
∴AD=BC，
∴AB=AD=BC=CD，
∴四边形ABCD是菱形。
综上，这三个条件是①③④或②③④。