《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

8. 将“直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形”填入下列相应的空格中.
(1) 矩形可以由两个能够完全重合的直角三角形拼合而成.
(2) 菱形可以由两个能够完全重合的等腰三角形拼合而成.
(3) 正方形可以由两个能够完全重合的等腰直角三角形拼合而成.

答案：
(1)直角三角形
(2)等腰三角形
(3)等腰直角三角形

9. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ }$,DE垂直平分AC,$DF⊥BC$,当$△ABC$满足AC=BC时,四边形DECF是正方形.

答案： 解：当△ABC满足AC=BC时，四边形DECF是正方形。
证明：
∵DE垂直平分AC，∠C=90°，
∴∠DEC=90°，EC=EA=AC/2，DE//BC。
∵DF⊥BC，∠C=90°，
∴∠DFC=90°，DF//AC。
∴四边形DECF是矩形。
∵AC=BC，
∴EC=AC/2=BC/2。
∵DF//AC，DE//BC，
∴DF=EC=BC/2，CF=DE。
又
∵DF⊥BC，∠C=90°，
∴CF=BC/2，
∴DF=CF。
∴矩形DECF是正方形。
故答案为：AC=BC。

10. 如图,AB是CD的垂直平分线,交CD于点M,过点M作$ME⊥AC,MF⊥AD$,垂足分别为E,F.
(1) 求证:$∠CAB= ∠DAB$.
(2) 若$∠CAD= 90^{\circ }$,求证:四边形AEMF是正方形.

答案：
(1)证明：
∵AB是CD的垂直平分线，
∴AC=AD，CM=DM，AB⊥CD，
∴AB是等腰△ACD的顶角平分线，
∴∠CAB=∠DAB；
(2)证明：
∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD=90°，
∴∠AEM=∠AFM=∠CAD=90°，
∴四边形AEMF是矩形，
∵∠CAB=∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，
∴ME=MF，
∴矩形AEMF是正方形。