《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

9. 如图,$\triangle ABC$是等腰直角三角形,$\angle A= 90^{\circ}$,点P,Q分别是AB,AC上的动点,且满足$BP= AQ$,D是BC的中点.
(1) 求证：$\triangle PDQ$是等腰直角三角形.
(2) 当点P运动到什么位置时,四边形APDQ是正方形,并说明理由.

答案：
(1) 证明：连结AD，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B=45°，
∵BP=AQ，
∴△BPD≌△AQD(SAS)，
∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，
∵∠BDP+∠ADP=90°，
∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90°，
∴△PDQ是等腰直角三角形。
(2) 当点P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形，理由如下：
由
(1)知△ABD是等腰直角三角形，
当P为AB中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，
∵∠A=90°，∠PDQ=90°，
∴四边形APDQ是矩形，
∵P为AB中点，
∴AP=BP，
又
∵BP=AQ，
∴AP=AQ，
∵AD平分∠BAC，
∴DQ⊥AC，即AQ=QD，
∴AP=PD（△APD是等腰直角三角形），
∴矩形APDQ邻边相等，
∴四边形APDQ是正方形。