《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

6. 用合适的方法解下列方程：
(1)$x^{2}+4x= 0$.
(2)$4x^{2}-9= 0$.

答案：
(1)解：$x(x + 4) = 0$
$x = 0$或$x + 4 = 0$
$x_1 = 0$，$x_2 = -4$
(2)解：$4x^2 = 9$
$x^2 = \frac{9}{4}$
$x = \pm \frac{3}{2}$
$x_1 = -\frac{3}{2}$，$x_2 = \frac{3}{2}$

7. 已知关于x的一元二次方程$(m-2)x^{2}+mx+m^{2}-4= 0$有一个根是0,则m的值为-2.

答案： 解：将$x = 0$代入方程$(m - 2)x^2 + mx + m^2 - 4 = 0$，得$m^2 - 4 = 0$，解得$m = 2$或$m = -2$。
因为方程是一元二次方程，所以二次项系数$m - 2 \neq 0$，即$m \neq 2$。
综上，$m = -2$。
$-2$

8. 若$a^{2}-3a+1= 0$,则$a^{2}+\frac {1}{a^{2}}$的值为____7.

答案： 解：因为$a^{2}-3a + 1 = 0$，且$a\neq0$（若$a = 0$，代入方程左边得$0 - 0 + 1=1\neq0$，所以$a\neq0$），方程两边同时除以$a$得：$a - 3+\frac{1}{a}=0$，即$a+\frac{1}{a}=3$。
对$a+\frac{1}{a}=3$两边平方得：$(a+\frac{1}{a})^{2}=3^{2}$，即$a^{2}+2× a×\frac{1}{a}+\frac{1}{a^{2}}=9$，化简得$a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}=9$，所以$a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=9 - 2=7$。
7

9. 已知$(x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-1)= 12$,则$x^{2}+y^{2}$的值是4.

答案： 解：设$t = x^{2} + y^{2}$，则原方程可化为$t(t - 1) = 12$。
展开得$t^{2} - t - 12 = 0$。
因式分解得$(t - 4)(t + 3) = 0$。
解得$t = 4$或$t = -3$。
因为$x^{2} + y^{2} \geq 0$，所以$t = -3$舍去。
故$x^{2} + y^{2}$的值是$4$。
$4$

10. 由多项式乘法$(x+a)(x+b)= x^{2}+(a+b)x+ab$,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：$x^{2}+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)$.如分解因式：$x^{2}-3x+2= (x-2)(x-1)$.
(1)分解因式：$x^{2}+6x+8= $$(x+2)(x+4)$.
(2)请用上述方法解下列方程：
①$x^{2}-5x-6= 0$.
②$2x^{2}-x-3= 0$.
(2) ①解：$x^{2}-5x-6=0$
$(x-6)(x+1)=0$
$x-6=0$或$x+1=0$
$x_{1}=6$，$x_{2}=-1$
②解：$2x^{2}-x-3=0$
$(2x-3)(x+1)=0$
$2x-3=0$或$x+1=0$
$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-1$

答案：
(1) $(x+2)(x+4)$
(2) ①解：$x^{2}-5x-6=0$
$(x-6)(x+1)=0$
$x-6=0$或$x+1=0$
$x_{1}=6$，$x_{2}=-1$
②解：$2x^{2}-x-3=0$
$(2x-3)(x+1)=0$
$2x-3=0$或$x+1=0$
$x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-1$