《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

9. 一名模型赛车手遥控一辆赛车,先前进1m,然后原地逆时针方向旋转角度$α(0^{\circ }＜α＜180^{\circ })$,这样被称为一次操作.若五次操作后,发现赛车回到出发点,则α的度数为$72^{\circ}$或$144^{\circ}$.

答案： 解：赛车五次操作后回到出发点，其运动轨迹构成正多边形。
情况一：轨迹为正五边形，每次旋转角为正五边形的外角。
正五边形外角和为$360^{\circ}$，每个外角$α = 360^{\circ}÷5 = 72^{\circ}$。
情况二：轨迹为正十边形（旋转两次完成一个外角），每次旋转角为正十边形外角的2倍。
正十边形外角为$360^{\circ}÷10 = 36^{\circ}$，则$α = 36^{\circ}×2 = 72^{\circ}$（此情况与情况一重复，舍去）。
情况三：轨迹为五角星（旋转五次形成周角），旋转角为$α = 360^{\circ}×2÷5 = 144^{\circ}$。
综上，$α$的度数为$72^{\circ}$或$144^{\circ}$。
答案：$72^{\circ}$或$144^{\circ}$

10. 如图,一个六边形的6个内角都是$120^{\circ }$,其相邻四边的长依次是1,9,9,5,求这个六边形的周长.

答案：
如图，延长并反向延长$AB$，$CD$，$EF$，分别交于$G$，$N$，$H$三点。$\because$六边形$ABCDEF$的每个内角都是$120^{\circ}$，$\therefore$其每个外角均为$60^{\circ}$，$\therefore \triangle GBC$，$\triangle HAF$，$\triangle NDE$都是等边三角形，$\therefore \angle G = \angle H = \angle N = 60^{\circ}$， $\therefore \triangle GHN$是等边三角形。$\therefore$六边形$ABCDEF$的周长$= HN + AG + CD = NG + AG + CD = (9 + 9 + 5) + (1 + 9) + 9 = 42$，即这个六边形的周长为42。

| |多边形的特征类比猜想正多边形的特征|
|主要特征|①外角和为$360^{\circ }$②内角和为$(n-2)\cdot 180^{\circ }$|①每个外角等于$\dfrac{360^{\circ}}{n}$②每个内角等于$\dfrac{(n - 2)180^{\circ}}{n}$|
|举例(至少两个)|①四边形②五边形|①正方形②正五边形|
|验证|参阅浙教版《数学》八下教材第79页|参阅浙教版《数学》九上教材第98页|
|学法指导|正多边形的特征可抓住概念,参考多边形的特征,遵循“内角和→内角→外角和→外角”的研究过程.|
【尝试解决】
已知一个正多边形的内角是$140^{\circ }$,它是正几边形?
解：设这个正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角和公式可得：$\frac{(n - 2) × 180^{\circ}}{n} = 140^{\circ}$方程两边同乘$n$得：$(n - 2) × 180 = 140n$展开括号：$180n - 360 = 140n$移项：$180n - 140n = 360$合并同类项：$40n = 360$解得：$n = 9$答：它是正九边形。

答案： $\dfrac{360^{\circ}}{n}$，$\dfrac{(n - 2)180^{\circ}}{n}$ 举例：正方形、正五边形
@@解：设这个正多边形的边数为$n$，根据正多边形内角和公式可得：$\frac{(n - 2) × 180^{\circ}}{n} = 140^{\circ}$方程两边同乘$n$得：$(n - 2) × 180 = 140n$展开括号：$180n - 360 = 140n$移项：$180n - 140n = 360$合并同类项：$40n = 360$解得：$n = 9$答：它是正九边形。