《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

9. 如图,在四边形ABCD中,$AB// CD$,E是BC的中点,直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状,并证明你的结论.

答案： 四边形ABFC是平行四边形。
证明：
∵AB//CD，
∴∠BAE=∠CFE。
∵E是BC的中点，
∴BE=CE。
在△ABE和△FCE中，
∠BAE=∠CFE，
∠AEB=∠FEC，
BE=CE，
∴△ABE≌△FCE（AAS），
∴AE=FE。
又
∵BE=CE，
∴四边形ABFC是平行四边形。

10. 如图,在四边形ABCD中,$AD// BC,BC= 6cm,AD= 9cm$,P,Q分别从点A,C同时出发,点P以1 cm/s的速度由A向D运动,点Q以2 cm/s的速度由C向B运动.
(1)几秒时四边形ABQP为平行四边形?
(2)几秒时直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形?

答案：
(1)设$x$秒时四边形$ABQP$为平行四边形。
因为$AD// BC$，要使四边形$ABQP$为平行四边形，需$AP = BQ$。
由题意得：$AP = x$，$CQ = 2x$，则$BQ = BC - CQ = 6 - 2x$。
所以$x = 6 - 2x$，解得$x = 2$。
答：2秒时四边形$ABQP$为平行四边形。
(2)①当四边形$ABQP$为平行四边形时，由
(1)知$x = 2$秒。
②设$y$秒时四边形$QPDC$为平行四边形。
因为$AD// BC$，要使四边形$QPDC$为平行四边形，需$CQ = PD$。
由题意得：$CQ = 2y$，$PD = AD - AP = 9 - y$。
所以$2y = 9 - y$，解得$y = 3$。
答：2秒或3秒时直线$PQ$将四边形$ABCD$截出一个平行四边形。