《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

3. 若关于x的方程$2 x ^ { 2 } + m x + n = 0$的两个根分别为-2和1,则$n ^ { m }$的值是(C)
A.-8
B.8
C.16
D.-16

答案： 解：
∵方程$2x^2 + mx + n = 0$的两个根为$-2$和$1$，
由根与系数的关系得：
$\begin{cases}-2 + 1 = -\dfrac{m}{2} \\(-2) × 1 = \dfrac{n}{2}\end{cases}$
解得：$\begin{cases}m = 2 \\n = -4\end{cases}$
$\therefore n^m = (-4)^2 = 16$
答案：C

4. 已知关于x的一元二次方程$4 x ^ { 2 } - 4 x - m = 0$有两个相等的实数根,则m的值是-1.

答案： 解：
∵一元二次方程$4x^{2}-4x - m = 0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-4)^{2}-4×4×(-m)=0$，
即$16 + 16m = 0$，
解得$m=-1$。
$-1$

5. 若$x _ { 1 }$,$x _ { 2 }是方程3 x ^ { 2 } + 2 x = 6$的两个根,则$x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 }$的值是____$\frac{40}{9}$.

答案： 解：方程化为一般式：$3x^2 + 2x - 6 = 0$
由韦达定理得：$x_1 + x_2 = -\frac{2}{3}$，$x_1x_2 = -2$
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = \left(-\frac{2}{3}\right)^2 - 2×(-2) = \frac{4}{9} + 4 = \frac{40}{9}$
$\frac{40}{9}$

6. 已知关于x的方程$x ^ { 2 } + ( 2 k - 1 ) x + k ^ { 2 } - 1 = 0有两个实数根x _ { 1 }$,$x _ { 2 }$.
(1) 求实数k的取值范围.
(2) 若满足$x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } = 16 + x _ { 1 } x _ { 2 }$,求实数k的值.

答案： （1）
∵方程有两个解，
∴$\Delta = (2k - 1)^2 - 4(k^2 - 1) \geq 0$，解得：$k \leq \frac{5}{4}$．
（2）
∵$x_1^2 + x_2^2 = 16 + x_1x_2$，
∴$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 + x_1x_2$，化简得：$k^2 - 4k - 12 = 0$，解得：$k_1 = -2$，$k_2 = 6$（舍）．

7. 已知关于x的方程$( m - 1 ) x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$有两个实数根,则实数m的取值范围是(C)
A.$m \geq 0$
B.$m ＞ 0$
C.$m \geq 0且m \neq 1$
D.$m ＞ 0且m \neq 1$

答案： 解：
∵方程有两个实数根，
∴该方程为一元二次方程，且判别式Δ≥0，
∴$m - 1 \neq 0$，且$\Delta = (-2)^2 - 4(m - 1)(-1) \geq 0$，
即$m \neq 1$，且$4 + 4(m - 1) \geq 0$，
$4 + 4m - 4 \geq 0$，
$4m \geq 0$，
$m \geq 0$，
综上，$m \geq 0$且$m \neq 1$。
答案：C