《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

3. 已知在四边形ABCD中,$∠ABC= 90^{\circ }$,再补充一个条件使得ABCD为矩形,这个条件可以是(C)
A.$AC= BD$
B.$AB= BC$
C.AC与BD互相平分
D.$AC⊥BD$

答案： 要使四边形ABCD为矩形，已知∠ABC=90°，需先确定其为平行四边形，再结合直角条件得证。
- 选项A：AC=BD（对角线相等），仅对角线相等的四边形不一定是平行四边形，无法判定为矩形。
- 选项B：AB=BC（邻边相等），仅邻边相等不能判定四边形为平行四边形，无法得证矩形。
- 选项C：AC与BD互相平分，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得ABCD为平行四边形，又∠ABC=90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可判定ABCD为矩形。
- 选项D：AC⊥BD（对角线垂直），对角线垂直的四边形不一定是平行四边形，无法判定为矩形。
答案：C

4. 如图,矩形ABCD对角线$AC= 10,BC= 6$,则图中四个小矩形的周长和为____28.

答案： 解：在矩形ABCD中，∠B=90°，AC=10，BC=6。
由勾股定理得，AB=$\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$。
矩形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(8+6)=28。
因为四个小矩形的周长和等于矩形ABCD周长的2倍减去矩形ABCD的周长（此处原解析思路可能需优化，更准确应为：将四个小矩形的所有边平移后，水平方向的边之和等于2AB，竖直方向的边之和等于2BC，所以四个小矩形周长和为2×(AB+BC)=28）。
故答案为28。

5. 如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若$AB= AO$,则$∠ABD$的度数为____.

60°

答案： 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，
∴OA=OB。
∵AB=AO，
∴AB=AO=OB，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD=60°。
60°

6. 如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,$AO= CO,BO= DO$,且$∠ABC+∠ADC= 180^{\circ }$.
(1)求证:四边形ABCD是矩形.
(2)若$DE⊥AC$交BC于E,$∠ADB:∠CDB= 2:3$,则$∠BDE$的度数是多少?

答案：
(1) 证明：
∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形。
(2) 解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，
∵∠ADB:∠CDB=2:3，设∠ADB=2x，∠CDB=3x，
则2x+3x=90°，解得x=18°，
∴∠ADB=2x=36°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OD，
∴∠OAD=∠ADB=36°，
∴∠DOC=∠OAD+∠ADB=36°+36°=72°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEO=90°，
∴∠BDE=∠DEO−∠DOC=90°−72°=18°。
答：∠BDE的度数是18°。