《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

6. 如图,已知$ □ ABCD $的对角线AC,BD交于点O,E,F分别是OA,OC的中点.
求证:$ OE = OF 且 DE // BF $.

答案： 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD。
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OA=2OE，OC=2OF，
∴OE=OF。
在△DOE和△BOF中，
$\left\{\begin{array}{l} OD=OB,\\ ∠DOE=∠BOF,\\ OE=OF,\end{array}\right.$
∴△DOE≌△BOF（SAS）。
∴∠DEO=∠BFO，
∴DE//BF。
综上，OE=OF且DE//BF。

7. 在$ □ ABCD $中,$ \angle ACB = 25 ^ { \circ } $,现将$ □ ABCD $沿EF折叠,使点C与点A重合,点D落在G处,则$ \angle GFE $的度数(C)
A.$ 135 ^ { \circ } $
B.$ 120 ^ { \circ } $
C.$ 115 ^ { \circ } $
D.$ 100 ^ { \circ } $

答案： 解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠DAC=∠ACB=25°。
由折叠性质得：∠GAF=∠DAC=25°，∠AEF=∠CEF，∠AFE=∠GFE，AC⊥EF，设AC与EF交于点O，则∠AOE=90°。
在△AOE中，∠AEF=90°-∠OAE=90°-25°=65°，
∴∠CEF=65°。
∵AD//BC，
∴∠AFE+∠CEF=180°，
∴∠AFE=180°-65°=115°，
∴∠GFE=∠AFE=115°。
答案：C

8. 如图,已知$ □ OABC $的顶点A、C分别在直线$ x = 1 和 x = 4 $上,O是坐标原点,则对角线OB长的最小值为5.

答案： 解：设点A的坐标为(1, a)，点C的坐标为(4, b)。
∵四边形OABC是平行四边形，
∴点B的坐标为A、C两点坐标之和，即(1+4, a+b)=(5, a+b)。
对角线OB的长为点B到原点O的距离：$\sqrt{(5-0)^2+(a+b-0)^2}=\sqrt{25+(a+b)^2}$。
∵$(a+b)^2 \geq 0$，
∴当$a+b=0$时，OB取得最小值$\sqrt{25+0}=5$。
答案：5