《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

7. 甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛,参赛学生每分钟输入汉字的个数统计结果如下表所示:
|班级|参加人数|中位数|方差|平均数|
|甲|55|149|1.91|135|
|乙|55|151|1.10|135|
根据上表得出以下结论:①甲、乙两班学生的平均成绩相同;②乙班优秀的人数比甲班多(每分钟输入汉字≥150个为优秀);③甲班成绩的波动比乙班大.其中正确的是(A)
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③

答案： 解：①甲、乙两班的平均数均为135，故平均成绩相同，正确；
②甲班中位数为149，说明至少有28人输入汉字个数≤149，优秀人数≤55-28=27人；乙班中位数为151，说明至少有28人输入汉字个数≥151，优秀人数≥28人，故乙班优秀人数比甲班多，正确；
③甲班方差1.91＞乙班方差1.10，所以甲班成绩波动比乙班大，正确。
结论：①②③均正确。
答案：A

8. 样本数据10,10,x,8的众数和平均数相同,则12,12,x+2,10这组数据的标准差是 $\sqrt{2}$.

答案： 解：
情况1：众数为10时，
平均数为$\frac{10+10+x+8}{4}=10$，
解得$x=12$。
情况2：众数为8时，
$x=8$，平均数为$\frac{10+10+8+8}{4}=9$，
众数≠平均数，舍去。
计算新数据的标准差：
$x=12$，新数据为12,12,14,10。
平均数$\overline{x}=\frac{12+12+14+10}{4}=12$。
方差$s^2=\frac{(12-12)^2+(12-12)^2+(14-12)^2+(10-12)^2}{4}=2$。
标准差$s=\sqrt{2}$。
$\sqrt{2}$

9. 一运动员进行了6次跳远测试,其成绩的平均数为7.8m,方差为$\frac{1}{60}m^{2}$.如果他再跳两次,成绩分别为7.6m,8.0m,那么这组跳远成绩的方差会变大.(填“变大”“不变”或“变小”)

答案： 解：已知6次跳远成绩的平均数为7.8m，方差为$\frac{1}{60}m^{2}$。
加入两次成绩7.6m、8.0m后，总次数为8次。
新平均数$\bar{x}=\frac{6×7.8 + 7.6 + 8.0}{8}=\frac{46.8 + 15.6}{8}=\frac{62.4}{8}=7.8m$。
原方差$s^{2}_{1}=\frac{1}{6}\sum_{i=1}^{6}(x_{i}-7.8)^{2}=\frac{1}{60}$，则$\sum_{i=1}^{6}(x_{i}-7.8)^{2}=6×\frac{1}{60}=\frac{1}{10}$。
新方差$s^{2}_{2}=\frac{1}{8}[\sum_{i=1}^{6}(x_{i}-7.8)^{2}+(7.6 - 7.8)^{2}+(8.0 - 7.8)^{2}]$
$=\frac{1}{8}[\frac{1}{10}+(-0.2)^{2}+(0.2)^{2}]$
$=\frac{1}{8}[\frac{1}{10}+0.04 + 0.04]$
$=\frac{1}{8}[\frac{1}{10}+0.08]=\frac{1}{8}×0.18=\frac{9}{400}=0.0225$。
原方差$\frac{1}{60}\approx0.0167$，因为$0.0225＞0.0167$，所以方差变大。
变大

10. 甲、乙两名运动员的射击成绩(靶心为10环)如下表所示(不完全):
|次序|1|2|3|4|5|
|甲|10|8|9|10|8|
|乙|10|9|9|a|b|
(1) 请在图1中用折线统计图把甲的成绩表示出来.（图略，在图1中依次描出（1,10）、（2,8）、（3,9）、（4,10）、（5,8）并连接成折线）
(2) 若甲、乙两名运动员射击成绩的平均值相等,则a + b的值是 17.
(3) 在(2)的条件下,当乙的成绩比甲稳定时,请列出a,b所有可能的值.$a=8$，$b=9$；$a=9$，$b=8$

答案： （1）（图略，在图1中依次描出（1,10）、（2,8）、（3,9）、（4,10）、（5,8）并连接成折线）
（2）解：甲的平均成绩为$\frac{10 + 8 + 9 + 10 + 8}{5} = \frac{45}{5} = 9$（环）
因为甲、乙平均值相等，所以乙的平均成绩也为9环，即$\frac{10 + 9 + 9 + a + b}{5} = 9$
解得$10 + 9 + 9 + a + b = 45$，$a + b = 17$
（3）解：甲成绩的方差$s^{2}_{甲}=\frac{1}{5}[(10 - 9)^{2}+(8 - 9)^{2}+(9 - 9)^{2}+(10 - 9)^{2}+(8 - 9)^{2}]=\frac{1}{5}(1 + 1 + 0 + 1 + 1)=\frac{4}{5}=0.8$
乙成绩的方差$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}[(10 - 9)^{2}+(9 - 9)^{2}+(9 - 9)^{2}+(a - 9)^{2}+(b - 9)^{2}]=\frac{1}{5}[1 + 0 + 0 + (a - 9)^{2}+(b - 9)^{2}]$
因为$a + b = 17$，所以$b = 17 - a$，代入得$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}[1 + (a - 9)^{2}+(8 - a)^{2}]$
要使乙比甲稳定，则$s^{2}_{乙}＜0.8$，即$(a - 9)^{2}+(8 - a)^{2}＜3$
整数解为$a = 8$，$b = 9$或$a = 9$，$b = 8$
答案：（2）17；（3）$a=8$，$b=9$；$a=9$，$b=8$