《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

在计算一组数据101,103,99,98,102,100,104的平均数时,我们可以将数据的每一个数都减去100,得到一组新数据1,3,-1,-2,2,0,4.我们很快就能算出新数据的平均数为1,所以原数据的平均数为101.我们是否也能采用相同的方法来计算这组新数据的方差呢?它和原数据的方差之间有怎样的关系呢?请同学们完成上述问题.
【尝试解决】
(1) 已知2,3,5,m,n这五个数据的平均数为6,方差为5.2,则3,4,6,m + 1,n + 1这五个数据的平均数和方差各是多少?
(2) 2,3,5,6,9这五个数据的平均数和方差各为多少?6,9,15,18,27这五个数据的平均数和方差各为多少?试比较这两组数据的平均数和方差,你能得出什么结论?
变式:已知一组数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数为m,方差为n,则另一组数据$ax_{1}+b,ax_{2}+b,ax_{3}+b,ax_{4}+b,ax_{5}+b$的平均数和方差各是多少?

答案： （1）解：已知2,3,5,m,n的平均数为6，方差为5.2。新数据3,4,6,m+1,n+1是原数据每个数加1得到的，所以新数据的平均数为6+1=7，方差不变仍为5.2。（2）解：2,3,5,6,9的平均数：(2+3+5+6+9)÷5=5，方差：[(2-5)²+(3-5)²+(5-5)²+(6-5)²+(9-5)²]÷5=6；6,9,15,18,27的平均数：(6+9+15+18+27)÷5=15，方差：[(6-15)²+(9-15)²+(15-15)²+(18-15)²+(27-15)²]÷5=54；结论：后一组数据中的每个数是前一组的3倍，其平均数是前一组的3倍，方差是前一组的9倍。
@@解：因为数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的平均数为$m$，所以$\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}}{5}=m$，则$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=5m$。新数据$ax_{1}+b,ax_{2}+b,ax_{3}+b,ax_{4}+b,ax_{5}+b$的平均数为：$\begin{aligned}&\frac{(ax_{1}+b)+(ax_{2}+b)+(ax_{3}+b)+(ax_{4}+b)+(ax_{5}+b)}{5}\\=&\frac{a(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}) + 5b}{5}\\=&\frac{a\cdot5m + 5b}{5}\\=&am + b\end{aligned}$因为数据$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}$的方差为$n$，所以$\frac{(x_{1}-m)^{2}+(x_{2}-m)^{2}+(x_{3}-m)^{2}+(x_{4}-m)^{2}+(x_{5}-m)^{2}}{5}=n$。新数据的方差为：$\begin{aligned}&\frac{(ax_{1}+b - (am + b))^{2}+(ax_{2}+b - (am + b))^{2}+\cdots+(ax_{5}+b - (am + b))^{2}}{5}\\=&\frac{(ax_{1}-am)^{2}+(ax_{2}-am)^{2}+\cdots+(ax_{5}-am)^{2}}{5}\\=&\frac{a^{2}(x_{1}-m)^{2}+a^{2}(x_{2}-m)^{2}+\cdots+a^{2}(x_{5}-m)^{2}}{5}\\=&a^{2}\cdot\frac{(x_{1}-m)^{2}+(x_{2}-m)^{2}+\cdots+(x_{5}-m)^{2}}{5}\\=&a^{2}n\end{aligned}$答：平均数为$am + b$，方差为$a^{2}n$。