《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

4. 已知一个样本的方差$S^{2}= \frac{1}{30}[(91 - 90)^{2}+(89 - 90)^{2}+…+(88 - 90)^{2}+(90 - 90)^{2}]+(92 - 90)^{2}]$,则该样本的样本容量和平均数分别是30,90.

答案： 解：样本方差公式为$S^{2}=\frac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，其中$n$为样本容量，$\overline{x}$为样本平均数。
由题中$S^{2}= \frac{1}{30}[(91 - 90)^{2}+(89 - 90)^{2}+…+(88 - 90)^{2}+(90 - 90)^{2}+(92 - 90)^{2}]$可知，$n = 30$，$\overline{x}=90$。
30,90

5. 已知一组数据-3,x,-2,3,1,6的中位数为1,则其标准差为3.

答案： 解：将数据除x外排序：-3，-2，1，3，6。
数据共6个，中位数为第3、4个数的平均数。
∵中位数为1，
∴第3、4个数的平均数为1。
若x≤1，排序后第3个数为x，第4个数为1，则$\frac{x+1}{2}=1$，解得x=1。
若x＞1，排序后第3个数为1，第4个数为x，则$\frac{1+x}{2}=1$，解得x=1（矛盾，舍去）。
∴x=1，数据为-3，-2，1，1，3，6。
平均数$\bar{x}=\frac{-3-2+1+1+3+6}{6}=1$。
方差$s^2=\frac{(-3-1)^2+(-2-1)^2+(1-1)^2+(1-1)^2+(3-1)^2+(6-1)^2}{6}=\frac{16+9+0+0+4+25}{6}=9$。
标准差s=3。
答案：3

6. 一次期中考试中,A,B,C,D,E五位同学的数学、英语成绩如下表所示:
|科目|A|B|C|D|E|平均分|标准差|
|数学|71|72|69|68|70|70|$\sqrt{2}$|
|英语|88|82|94|85|76|85|6|
(1) 求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差.
(2) 可以通过标准分表比较不同学科考试成绩的优劣,标准分大的成绩更好。标准分的计算公式为:标准分$=\frac{个人成绩 - 平均成绩}{标准差}$.
请问A同学在本次考试中,数学和英语这两个学科中哪个考得更好?
（1）数学平均分：$\frac{1}{5}×(71 + 72 + 69 + 68 + 70) = 70$（分）；
英语标准差：$\sqrt{\frac{1}{5}[(88 - 85)^2 + (82 - 85)^2 + (94 - 85)^2 + (85 - 85)^2 + (76 - 85)^2]} = \sqrt{36} = 6$（分）。
（2）数学标准分：$\frac{71 - 70}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；英语标准分：$\frac{88 - 85}{6} = 0.5$。
因为$\frac{\sqrt{2}}{2} ＞ 0.5$，所以数学考得更好。

答案： （1）数学平均分：$\frac{1}{5}×(71 + 72 + 69 + 68 + 70) = 70$（分）；
英语标准差：$\sqrt{\frac{1}{5}[(88 - 85)^2 + (82 - 85)^2 + (94 - 85)^2 + (85 - 85)^2 + (76 - 85)^2]} = \sqrt{36} = 6$（分）。
（2）数学标准分：$\frac{71 - 70}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$；英语标准分：$\frac{88 - 85}{6} = 0.5$。
因为$\frac{\sqrt{2}}{2} ＞ 0.5$，所以数学考得更好。