《2025年玩转全课程八年级数学全一册浙教版》

4. 如图,点E是正方形CD边上一点,且$\triangle ABE$的面积为4.5,$DE= 1$,则线段BE的长度为____.

$\sqrt{13}$

答案： 解：设正方形边长为$a$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = a$，$BC = a$，$CD = a$，$\angle A = \angle ABC = \angle C = \angle D = 90^\circ$。
点$E$在$CD$边上，$DE = 1$，则$CE = CD - DE = a - 1$。
$\triangle ABE$的面积为$4.5$，以$AB$为底，高为正方形的边长$a$，则$\frac{1}{2} × AB × a = 4.5$，即$\frac{1}{2} × a × a = 4.5$，$a^2 = 9$，解得$a = 3$（边长为正数）。
所以$CE = 3 - 1 = 2$。
在$Rt\triangle BCE$中，$BC = 3$，$CE = 2$，根据勾股定理，$BE = \sqrt{BC^2 + CE^2} = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$。
$\sqrt{13}$

5. 如图,在正方形ABCD中,$AB= 3$,AB在数轴上,以点A为圆心,对角线AC的长为半径作弧,交数轴的正半轴于点E,则E在数轴上对应的数为$3\sqrt{2}-1$.

答案： 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，AB=3，
∴ ∠ABC=90°，BC=AB=3。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
由图可知，点A在数轴上对应的数为-1，AE=AC=3$\sqrt{2}$，
∴ 点E在数轴上对应的数为-1+3$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$-1。
3$\sqrt{2}$-1

6. 如图,在平行四边形ABCD中,$AB= 10$,$BC= 14$,E,F分别为边BC,AD上的点,若四边形AECF为正方形,则AE的长为(D)
A.7
B.4或10
C.5或9
D.6或8

答案： 解：设AE的长为x，
∵四边形AECF为正方形，
∴AE=EC=x，∠AEB=90°，
∵BC=14，
∴BE=BC-EC=14-x，
在Rt△ABE中，AB²=AE²+BE²，
∵AB=10，
∴10²=x²+(14-x)²，
整理得x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
∴AE的长为6或8。
答案：D

7. 如图,P是正方形ABCD对角线AC上一点,若$PC= AB$,则$\angle BPC= $67.5°.

答案： 解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ACB=45°（正方形对角线平分内角）。
∵PC=AB，AB=BC，
∴PC=BC。
∴△PBC是等腰三角形，∠PBC=∠BPC。
在△PBC中，∠PBC+∠BPC+∠ACB=180°，
即2∠BPC+45°=180°，
解得∠BPC=67.5°。
67.5°

8. 如图,正方形ABCD的面积为12,$\triangle ABE$是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使$PD+PE$的和最小,则这个最小值为____.

$2\sqrt{3}$

答案： 解：
∵ 正方形ABCD的面积为12，
∴ 边长AB = BC = CD = DA = $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$。
连接PB，
∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，
∴ 点B与点D关于AC对称，
∴ PD = PB，
∴ PD + PE = PB + PE。
当点P在AC上运动时，PB + PE的最小值为点B与点E之间的距离（两点之间线段最短）。
∵ △ABE是等边三角形，
∴ BE = AB = $2\sqrt{3}$。
故PD + PE的最小值为$2\sqrt{3}$。
答案：$2\sqrt{3}$