《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务三 椭圆的离心率
[探究活动]
“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现.

探究1：若椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
探究2：已知椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（a＞b＞0），A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF = 90°，则称其为“优美椭圆”. 它的离心率e = ______.

答案：
[探究活动]
探究1 D 提示：如图，椭圆的短轴的一个端点与焦点构成等边三角形，则$\angle BF_{1}F_{2}=60^{\circ}$，$\tan\angle BF_{1}F_{2}=\frac{|OB|}{|OF_{1}|}=\frac{b}{c}=\sqrt{3}$，所以$b=\sqrt{3}c$. 又$a^{2}=b^{2}+c^{2}=3c^{2}+c^{2}=4c^{2}$，所以$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$. 故选D.

探究2 $\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 提示：如图所示，由题意知，$|AO| = a$，$|OF| = c$，$|BF| = a$，$|AB|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，所以在直角三角形$ABF$中，$a^{2}+b^{2}+a^{2}=(a + c)^{2}=a^{2}+2ac + c^{2}$，即$a^{2}-c^{2}-ac = 0$，两边同除以$a^{2}$，得$e^{2}+e - 1 = 0$，解得$e=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$或$e=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(舍去).

[评价活动]
1.（2024·九省联考）椭圆$\frac{x^{2}}{a^{2}}+y^{2}=1$（a＞1）的离心率为$\frac{1}{2}$，则a = （ ）
A. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2

答案： [评价活动]
1. A 解析：由题意，得$e=\frac{\sqrt{a^{2}-1}}{a}=\frac{1}{2}$，解得$a=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. 故选A.

2.（2022·全国甲卷（理））椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称. 若直线AP，AQ的斜率之积为$\frac{1}{4}$，则椭圆C的离心率为（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{3}$

答案： 2. A 解析：设$P(x_{1},y_{1})$，则$Q(-x_{1},y_{1})$.
由$k_{AP}\cdot k_{AQ}=\frac{1}{4}$，得$k_{AP}\cdot k_{AQ}=\frac{y_{1}}{x_{1}+a}\cdot\frac{y_{1}}{-x_{1}+a}=\frac{y_{1}^{2}}{-x_{1}^{2}+a^{2}}=\frac{1}{4}$. 由$\frac{x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{1}^{2}}{b^{2}}=1$，得$y_{1}^{2}=\frac{b^{2}(a^{2}-x_{1}^{2})}{a^{2}}$，所以$\frac{\frac{b^{2}(a^{2}-x_{1}^{2})}{a^{2}}}{-x_{1}^{2}+a^{2}}=\frac{1}{4}$，即$\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}$，所以椭圆$C$的离心率$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 故选A.