《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

2. 求椭圆25x² + 16y² = 400的长轴长、短轴长、焦点坐标和顶点坐标.

答案： 2. 解：将方程变形为$\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{16}=1$，得$a = 5,b = 4$，所以$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3$，故椭圆的长轴长和短轴长分别为$2a = 10$和$2b = 8$，焦点坐标为$(0,-3),(0,3)$，顶点坐标为$(0,-5),(0,5),(-4,0),(4,0)$.

任务二 由椭圆的几何性质求椭圆的方程
1. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3，0)，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$
B. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$
C. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{25}=1$
D. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$

答案： 1. B 解析：由题意，得$\begin{cases}2a + 2b = 18,\\c = 3,\\a^{2}=b^{2}+c^{2},\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 5,\\b = 4.\end{cases}$因为椭圆的焦点在$x$轴上，所以该椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$.

2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
（1）椭圆过点(3，0)，离心率e = $\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（2）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8.

答案：
2. 解：
(1)若焦点在$x$轴上，则$a = 3$.
由$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得$c=\sqrt{6}$，
所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=9 - 6 = 3$，
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1$.
若焦点在$y$轴上，则$b = 3$.
由$e=\frac{c}{a}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{9}{a^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得$a^{2}=27$，
所以椭圆的标准方程为$\frac{y^{2}}{27}+\frac{x^{2}}{9}=1$.
故所求椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1$或$\frac{y^{2}}{27}+\frac{x^{2}}{9}=1$.
(2)设椭圆方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞ b ＞ 0)$.
如图，$\triangle A_{1}FA_{2}$为等腰直角三角形，

所以$OF$为斜边$A_{1}A_{2}$的中线(高)，且$|OF| = c$，$|A_{1}A_{2}| = 2b$，
所以$c = b = 4$，
所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}=32$，
故所求椭圆的标准方程为$\frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{16}=1$.