《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

[评价活动]
1. 已知向量$\overrightarrow{OA}=(1,2,3)$，$\overrightarrow{OB}=(2,m,3)$，$\overrightarrow{OC}=(4,2,k)$，若$\overrightarrow{OA}$是平面ABC的法向量，则mk的值是（ ）
A. 3 B. 2 C. 6 D. 4

答案： A 解析：由题意，可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(1,m - 2,0)$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(3,0,k - 3)$.
又$\overrightarrow{OA}$为平面$ABC$的法向量，
所以$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AB}=1\times1 + 2\times(m - 2)+3\times0 = 2m - 3 = 0$，解得$m = \frac{3}{2}$，
$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times3 + 2\times0 + 3(k - 3)=3k - 6 = 0$，解得$k = 2$，所以$mk = 3$. 故选A.

2. 在四棱锥$P - ABCD$中，$PA\perp$底面ABCD，AC，BD为正方形ABCD的对角线，给出下列命题：
　　　　　　
①$\overrightarrow{BC}$为平面PAD的法向量；
②$\overrightarrow{BD}$为平面PAC的法向量；
③$\overrightarrow{CD}$为直线AB的方向向量；
④直线BC的方向向量一定是平面PAB的法向量.
其中正确命题的序号是______.

答案： ②③④ 解析：①因为底面$ABCD$是正方形，所以$BC// AD$. 由$AD\subset$平面$PAD$知，$BC$不是平面$PAD$的一个法向量. 故①错误；
②由底面$ABCD$是正方形知，$BD\perp AC$. 因为$PA\perp$底面$ABCD$，$BD\subset$平面$ABCD$，所以$PA\perp BD$. 又$PA\cap AC = A$，$PA\subset$平面$PAC$，$AC\subset$平面$PAC$，所以$BD\perp$平面$PAC$，所以$\overrightarrow{BD}$为平面$PAC$的一个法向量. 故②正确；
③因为底面$ABCD$是正方形，所以$CD// AB$，所以$\overrightarrow{CD}$为直线$AB$的方向向量. 故③正确；
④易知$BC\perp AB$. 因为$PA\perp$底面$ABCD$，$BC\subset$平面$ABCD$，所以$PA\perp BC$. 又$PA\cap AB = A$，$PA\subset$平面$PAB$，$AB\subset$平面$PAB$，所以$BC\perp$平面$PAB$，所以直线$BC$的方向向量一定是平面$PAB$的法向量. 故④正确.
故正确命题的序号是②③④.