《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1. 分向量
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p = __________. 我们称xi，yj，zk分别为向量p在i，j，k上的________.

答案： 两两垂直 $xi + yj + zk$ 分向量

2. 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c ________，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p = __________.

答案： 不共面 $xa + yb + zc$

如果三个向量a，b，c ________，那么所有空间向量组成的集合就是{p | p = __________，x，y，z∈R}. 这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做________. 空间任意三个________的向量都可以构成空间的一个基底.

答案： 不共面 $xa + yb + zc$ 基向量 不共面

[微训练]
1. 在以下3个命题中，真命题的个数是（ ）
①若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c = λa + μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

答案： C

2. 若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p = 2a + b，q = 2a - b构成空间的另一个基底的向量是（ ）
A. a
B. b
C. c
D. a + b

答案： C

3.（多选）空间中的四个点O，A，B，C，${ \overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC} }$为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A. O，A，B，C四点不共线
B. O，A，B，C四点共面，但不共线
C. O，A，B，C四点中任意三点不共线
D. O，A，B，C四点不共面

答案： ACD

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量________，且长度都为______，那么这个基底叫做____________，常用{i，j，k}表示. 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a = __________. 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行________.

答案： 两两垂直 1 单位正交基底 $xi + yj + zk$ 正交分解