《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务三　空间向量的综合应用
[探究活动]
如图，图1是由矩形$ADEB$、$Rt\triangle ABC$和菱形$BFGC$组成的一个平面图形，其中$AB = 1$，$BE = BF = 2$，$\angle FBC = 60^{\circ}$. 将其沿$AB$，$BC$折起使得$BE$与$BF$重合，连接$DG$，如图2.

探究1：证明：图2中的$A$，$C$，$G$，$D$四点共面，且平面$ABC\perp$平面$BCGE$.
探究2：求图2中的二面角$B - CG - A$的大小.

答案：
探究1 提示:由已知，得AD//BE，CG//BE，所以AD//CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面. 由已知，得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC = B，故AB⊥平面BCGE. 又AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.
探究2 提示:作EH⊥BC，垂足为H. 因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC. 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC = 60°，可得BH = 1，EH = $\sqrt{3}$. 以H为坐标原点，$\overrightarrow{HC}$的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，

则A(-1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0,$\sqrt{3}$)，$\overrightarrow{CG}=(1,0,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AC}=(2,-1,0)$. 设平面ACGD的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{CG}\cdot\boldsymbol{n} = 0 \\ \overrightarrow{AC}\cdot\boldsymbol{n} = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}x + \sqrt{3}z = 0 \\ 2x - y = 0\end{cases}$，所以可取$\boldsymbol{n}=(3,6,-\sqrt{3})$. 又平面BCGE的法向量可取为$\boldsymbol{m}=(0,1,0)$，所以$\cos\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}\rangle = \frac{\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{m}}{|\boldsymbol{n}|\cdot|\boldsymbol{m}|} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，因此二面角B - CG - A的大小为30°.

[评价活动]
1. 如图，在四棱锥$P - ABCD$中，$PA\perp$平面$ABCD$，$AD// BC$，$AD\perp CD$，且$AD = CD = 2\sqrt{2}$，$BC = 4\sqrt{2}$，$PA = 2$.
（1）求证：$AB\perp PC$.
（2）在线段$PD$上，是否存在一点$M$，使得平面$ACM$与平面$ACD$的夹角为$60^{\circ}$？如果存在，求$\frac{PM}{PD}$的值；如果不存在，请说明理由.

答案：

(1)证明:由已知，得四边形ABCD是直角梯形，由AD = CD = 2$\sqrt{2}$，BC = 4$\sqrt{2}$，可得△ABC是等腰直角三角形，即AB⊥AC. 因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB. 又PA∩AC = A，所以AB⊥平面PAC. 因为PC⊂平面PAC，所以AB⊥PC.
(2)解:存在. 取BC的中点E，连接AE，AE⊥BC.
建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，C(2$\sqrt{2}$,2$\sqrt{2}$,0)，D(0,2$\sqrt{2}$,0)，P(0,0,2)，B(2$\sqrt{2}$,-2$\sqrt{2}$,0)，
所以$\overrightarrow{PD}=(0,2\sqrt{2},-2)$，$\overrightarrow{AC}=(2\sqrt{2},2\sqrt{2},0)$.
设$\overrightarrow{PM}=t\overrightarrow{PD}(0 ＜ t ＜ 1)$，
则点M(0,2$\sqrt{2}t$,2 - 2t)，
所以$\overrightarrow{AM}=(0,2\sqrt{2}t$,2 - 2t).
设平面MAC的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AC} = 0 \\ \boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AM} = 0\end{cases}$，即$\begin{cases}2\sqrt{2}x + 2\sqrt{2}y = 0 \\ 2\sqrt{2}ty + (2 - 2t)z = 0\end{cases}$，
可取$\boldsymbol{n}=(1,-1,\frac{\sqrt{2}t}{1 - t})$.
又$\boldsymbol{m}=(0,0,1)$是平面ACD的一个法向量，
所以$|\cos\langle\boldsymbol{m},\boldsymbol{n}\rangle| = \frac{|\boldsymbol{m}\cdot\boldsymbol{n}|}{|\boldsymbol{m}|\cdot|\boldsymbol{n}|} = \frac{|\frac{\sqrt{2}t}{1 - t}|}{\sqrt{2 + (\frac{\sqrt{2}t}{1 - t})^2}} = \cos60^{\circ}$，解得t = $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$，
所以$\frac{PM}{PD} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$.

2. （2023·新高考全国Ⅰ卷）如图，在正四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$AB = 2$，$AA_1 = 4$. 点$A_2$，$B_2$，$C_2$，$D_2$分别在棱$AA_1$，$BB_1$，$CC_1$，$DD_1$上，$AA_2 = 1$，$BB_2 = DD_2 = 2$，$CC_2 = 3$.
（1）证明：$B_2C_2// A_2D_2$；
（2）若点$P$在棱$BB_1$上，当二面角$P - A_2C_2 - D_2$为$150^{\circ}$时，求$B_2P$的值.

答案：

(1)证明:以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，

则C(0,0,0)，C2(0,0,3)，B2(0,2,2)，D2(2,0,2)，A2(2,2,1)，
所以$\overrightarrow{B_2C_2}=(0,-2,1)$，$\overrightarrow{A_2D_2}=(0,-2,1)$，
所以$\overrightarrow{B_2C_2} // \overrightarrow{A_2D_2}$.
又B2C2，A2D2不在同一条直线上，
所以B2C2//A2D2.
(2)解:设P(0,2,$\lambda$)(0≤$\lambda$≤4)，
则$\overrightarrow{A_2C_2}=(-2,-2,2)$，$\overrightarrow{PC_2}=(0,-2,3 - \lambda)$，$\overrightarrow{D_2C_2}=(-2,0,1)$.
设平面PA2C2的法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{A_2C_2} = -2x - 2y + 2z = 0 \\ \boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PC_2} = -2y + (3 - \lambda)z = 0\end{cases}$，
令z = 2，得y = 3 - $\lambda$，x = $\lambda$ - 1，
所以$\boldsymbol{n}=(\lambda - 1,3 - \lambda,2)$.
设平面A2C2D2的法向量$\boldsymbol{m}=(a,b,c)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{A_2C_2} = -2a - 2b + 2c = 0 \\ \boldsymbol{m}\cdot\overrightarrow{D_2C_2} = -2a + c = 0\end{cases}$，
令a = 1，得b = 1，c = 2，
所以$\boldsymbol{m}=(1,1,2)$，
所以$|\cos\langle\boldsymbol{n},\boldsymbol{m}\rangle| = \frac{|\boldsymbol{n}\cdot\boldsymbol{m}|}{|\boldsymbol{n}|\cdot|\boldsymbol{m}|} = \frac{6}{\sqrt{6}\sqrt{4 + (\lambda - 1)^2 + (3 - \lambda)^2}} = |\cos150^{\circ}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
化简可得，$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0$，
解得$\lambda = 1$或$\lambda = 3$，
所以P(0,2,1)或P(0,2,3)，
所以B2P = 1.