《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务四 圆的标准方程的应用
[探究活动]
设点P(x，y)是圆x² + (y + 4)² = 4上任意一点.
探究1：√((x - 1)² + (y - 1)²)的几何意义是什么?
探究2：怎样求√((x - 1)² + (y - 1)²)的最大值、最小值?

答案：
探究 1 提示：表示点 P 与点$(1,1)$间的距离。
探究 2 提示：如图，

易得$\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2}$的最大值为$\sqrt{(1 - 0)^2 + (1 + 4)^2} + 2 = \sqrt{26} + 2$，最小值为$\sqrt{(1 - 0)^2 + (1 + 4)^2} - 2 = \sqrt{26} - 2$。

[评价活动]
1. 圆(x - 1)² + (y - 1)² = 1上的点到直线x - y = 2的距离的最大值是________.

答案： $1 + \sqrt{2}$ 解析：由题意知，圆$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$的圆心为$(1,1)$，所以圆心到直线$x - y = 2$的距离为$\frac{|1 - 1 - 2|}{\sqrt{1 + 1}} = \sqrt{2}$，所以圆心到直线的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，即最大距离为$1 + \sqrt{2}$。

2. 已知x,y满足x²+(y+4)²=4,求$\sqrt{(x+1)²+(y+1)²}$的最大值与最小值.

答案：
解：设点$P(x,y)$是圆$x^2 + (y + 4)^2 = 4$上的任意一点，圆心$C(0,-4)$，半径$r = 2$，
所以$\sqrt{(x + 1)^2 + (y + 1)^2}$表示点$A(-1,-1)$与该圆上的点的距离。
因为$|AC|^2 = (-1)^2 + (-1 + 4)^2 ＞ 4$，
所以点$A(-1,-1)$在圆外，如图所示。

又$|AC| = \sqrt{(0 + 1)^2 + (-4 + 1)^2} = \sqrt{10}$，
所以$\sqrt{(x + 1)^2 + (y + 1)^2}$的最大值为$|AC| + r = \sqrt{10} + 2$，最小值为$|AC| - r = \sqrt{10} - 2$。