《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1. 已知$\boldsymbol{a}=(1,0,1)$，$\boldsymbol{b}=(-2,-1,1)$，$\boldsymbol{c}=(3,1,0)$，则$|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+2\boldsymbol{c}| =$ （ ）
A. $3\sqrt{10}$
B. $2\sqrt{10}$
C. $\sqrt{10}$
D. 5

答案： A 解析：因为$a - b + 2c = (1,0,1) - (-2,-1,1) + 2(3,1,0) = (1 + 2 + 6,0 + 1 + 2,1 - 1 + 0) = (9,3,0)$，所以$|a - b + 2c| = \sqrt{9^{2}+3^{2}} = 3\sqrt{10}$。

2. 已知空间向量$\boldsymbol{a}=(1,0,2)$，$\boldsymbol{b}=(-2,1,3)$，则$\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}=$______.

答案： $(5,-2,-4)$ 解析：因为$a = (1,0,2)$，$b = (-2,1,3)$，所以$a - 2b = (1,0,2) - 2(-2,1,3) = (5,-2,-4)$。

3. 已知空间向量$\boldsymbol{a}=(-2,1,5)$，$\boldsymbol{b}=(1,3,-4)$，则$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$______.

答案： -19 解析：因为$a = (-2,1,5)$，$b = (1,3,-4)$，所以$a\cdot b = -2×1 + 1×3 + 5×(-4) = -19$。

探究1：已知$A(2,-5,1)$，$B(2,-2,4)$，$C(1,-4,1)$，求向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角.

答案： 提示：因为$\overrightarrow{AB} = (0,3,3)$，$\overrightarrow{AC} = (-1,1,0)$，
所以$\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rangle = \frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AC}|} = \frac{3}{3\sqrt{2}×\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$，
故向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$的夹角为$60^{\circ}$。

探究2：已知向量$\boldsymbol{a}=(\lambda +1,1,2\lambda)$，$\boldsymbol{b}=(6,2m - 1,2)$.
（1）若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，分别求$\lambda$与$m$的值；
（2）若$|\boldsymbol{a}|=\sqrt{5}$，且与$\boldsymbol{c}=(2,-2\lambda,-\lambda)$垂直，求$\boldsymbol{a}$.

答案： 提示：
(1)由$a// b$，得$(\lambda + 1,1,2\lambda) = k(6,2m - 1,2)$，
所以$\begin{cases}\lambda + 1 = 6k\\1 = k(2m - 1)\\2\lambda = 2k\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda = k = \frac{1}{5}\\m = 3\end{cases}$，
所以实数$\lambda = \frac{1}{5}$，$m = 3$。
(2)因为$|a| = \sqrt{5}$，且$a\perp c$，
所以$\begin{cases}(\lambda + 1)^{2}+1^{2}+(2\lambda)^{2}=5\\(\lambda + 1,1,2\lambda)\cdot(2,-2\lambda,-\lambda)=0\end{cases}$，
化简，得$\begin{cases}5\lambda^{2}+2\lambda = 3\\2 - 2\lambda^{2}=0\end{cases}$，
解得$\lambda = -1$，
所以$a = (0,1,-2)$。

1. 已知向量$\boldsymbol{a}=(1,x,3)$，$\boldsymbol{b}=(-2,4,y)$.
（1）若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，则$x - y=$______；
（2）若$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$，则$4x + 3y=$______.

答案：
(1)4
(2)2 解析：
(1)因为$a// b$，
所以$b = \lambda a$，
所以$\begin{cases}\lambda = -2\\x\lambda = 4\\3\lambda = y\end{cases}$，解得$\begin{cases}\lambda = -2\\x = -2\\y = -6\end{cases}$，
所以$x - y = 4$。
(2)因为$a\perp b$，所以$a\cdot b = -2 + 4x + 3y = 0$，即$4x + 3y = 2$。

2. 已知向量$\boldsymbol{a}=(1,2,3)$，$\boldsymbol{b}=(-2,-4,-6)$，$|\boldsymbol{c}|=\sqrt{14}$. 若$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}=7$，求$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{c}$的夹角.

答案： 解：因为$a = (1,2,3)$，$b = (-2,-4,-6)$，
所以$a + b = (-1,-2,-3)$，所以$|a + b| = \sqrt{14}$。
又$(a + b)\cdot c = 7$，所以$\cos\langle a + b,c\rangle = \frac{(a + b)\cdot c}{|a + b||c|} = \frac{1}{2}$，即$a + b$与$c$的夹角为$60^{\circ}$。又$a = (1,2,3)$与$a + b = (-1,-2,-3)$方向相反，所以$a$与$c$的夹角为$120^{\circ}$。