《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

探究1：在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$E$，$F$分别是面对角线$B_{1}D_{1}$，$A_{1}B$上的点，且$D_{1}E = 2EB_{1}$，$BF = 2FA_{1}$. 试判断直线$EF$与$AC_{1}$的位置关系.

答案：
[探究活动]

探究 1 提示：如图，分别以 $DA$，$DC$，$DD_1$ 所在的直线为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立空间直角坐标系。
设 $DA = a$，$DC = b$，$DD_1 = c$，
则 $A(a,0,0)$，$C_1(0,b,c)$，$E(\frac{2}{3}a,\frac{2}{3}b,c)$，$F(a,\frac{b}{3},\frac{2}{3}c)$，
所以 $\overrightarrow{FE} = ( - \frac{a}{3},\frac{b}{3},\frac{c}{3})$，$\overrightarrow{AC_1} = ( - a,b,c)$，
所以 $\overrightarrow{FE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC_1}$。
又 $FE$ 与 $AC_1$ 不共线，
所以直线 $EF // AC_1$。

探究2：如图，在三棱锥$P - ABC$中，$PA\perp$底面$ABC$，$\angle BAC = 90^{\circ}$，点$D$，$E$，$N$分别为棱$PA$，$PC$，$BC$的中点，$M$是线段$AD$的中点，$PA = AC = 4$，$AB = 2$. 试证明：$MN//$平面$BDE$.
　　　　　　　　　　　　

答案：
探究 2 提示：如图，以 $A$ 为原点，$AB$，$AC$，$AP$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立空间直角坐标系。
依题意，可得 $A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(0,4,0)$，$P(0,0,4)$，$D(0,0,2)$，$E(0,2,2)$，$M(0,0,1)$，$N(1,2,0)$，

所以 $\overrightarrow{DE} = (0,2,0)$，$\overrightarrow{DB} = (2,0, - 2)$。
设 $n = (x,y,z)$ 为平面 $BDE$ 的法向量，
则 $\begin{cases}n \cdot \overrightarrow{DE} = 0, \\ n \cdot \overrightarrow{DB} = 0, \end{cases}$ 即 $\begin{cases}2y = 0, \\ 2x - 2z = 0, \end{cases}$
取 $z = 1$，可得 $n = (1,0,1)$ 为平面 $BDE$ 的一个法向量。
又 $\overrightarrow{MN} = (1,2, - 1)$，
所以 $\overrightarrow{MN} \cdot n = 0$。
又 $MN \not\subset$ 平面 $BDE$，
所以 $MN //$ 平面 $BDE$。

1. 在长方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$AB = 4$，$AD = 3$，$AA_{1} = 2$，$P$，$Q$，$R$，$S$分别是$AA_{1}$，$D_{1}C_{1}$，$AB$，$CC_{1}$的中点. 求证：$PQ// RS$.

答案：
[评价活动]
1. 证明：（方法一）以 $D$ 为原点，$DA$，$DC$，$DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则 $P(3,0,1)$，$Q(0,2,2)$，$R(3,2,0)$，$S(0,4,1)$，$\overrightarrow{PQ} = ( - 3,2,1)$，$\overrightarrow{RS} = ( - 3,2,1)$，
所以 $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{RS}$，
所以 $\overrightarrow{PQ} // \overrightarrow{RS}$，即 $PQ // RS$。
（方法二）$\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{RC} + \overrightarrow{CS} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}$，
$\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA_1} + \overrightarrow{A_1Q} = \frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1} + \frac{1}{2}\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{DA}$，
所以 $\overrightarrow{RS} = \overrightarrow{PQ}$，
所以 $\overrightarrow{RS} // \overrightarrow{PQ}$，即 $RS // PQ$。

2. 在多面体$ABCDEF$中，正方形$ABCD$和矩形$BDEF$互相垂直，$G$，$H$分别是$DE$和$BC$的中点，$AB = BF = 2$. 在$BC$边所在的直线上存在一点$P$，使得$FP//$平面$AGH$，求$FP$的长.
　　　　　　　　

答案：