《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务三　利用空间向量证明面面平行
1. 如图，在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，$O$为底面$ABCD$的中心，$P$是$DD_{1}$的中点. 设$Q$是$CC_{1}$上的点，问：是否存在点$Q$，使得平面$D_{1}BQ//$平面$PAO$?
　　　　　　　　　　　　
2. 已知正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$的棱长为2，$E$，$F$分别是$BB_{1}$，$DD_{1}$的中点.
求证：(1)$FC_{1}//$平面$ADE$；
(2)平面$ADE//$平面$B_{1}C_{1}F$.
　

答案： 1. 解：如图，分别以 $DA$，$DC$，$DD_1$ 所在直线为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立空间直角坐标系。
在 $CC_1$ 上任取一点 $Q$，连接 $BQ$，$D_1Q$。
设正方体的棱长为 $1$，
则 $O(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$，$P(0,0,\frac{1}{2})$，$A(1,0,0)$，$B(1,1,0)$，$D_1(0,0,1)$，
则 $Q(0,1,m)(0 \leq m \leq 1)$。
（方法一）$\overrightarrow{AP} = ( - 1,0,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{BQ} = ( - 1,0,m)$，$\overrightarrow{OP} = ( - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{BD_1} = ( - 1, - 1,1)$，
所以 $\overrightarrow{OP} // \overrightarrow{BD_1}$，即 $OP // BD_1$。
当 $m = \frac{1}{2}$ 时，$\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{BQ}$，即 $AP // BQ$，
所以平面 $PAO //$ 平面 $D_1BQ$。
故当 $Q$ 为 $CC_1$ 的中点时，平面 $D_1BQ //$ 平面 $PAO$。
（方法二）依题意，得 $\overrightarrow{OA} = (\frac{1}{2}, - \frac{1}{2},0)$，$\overrightarrow{OP} = ( - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
设平面 $PAO$ 的法向量为 $n_1 = (x_1,y_1,z_1)$，
则 $n_1 \perp \overrightarrow{OA}$，$n_1 \perp \overrightarrow{OP}$，
即 $\begin{cases}\frac{1}{2}x_1 - \frac{1}{2}y_1 = 0, \\ - \frac{1}{2}x_1 - \frac{1}{2}y_1 + \frac{1}{2}z_1 = 0, \end{cases}$
取 $x_1 = 1$，则 $n_1 = (1,1,2)$ 为平面 $PAO$ 的一个法向量。
易知 $\overrightarrow{BD_1} = ( - 1, - 1,1)$，$\overrightarrow{QD_1} = (0, - 1,1 - m)$。
设平面 $D_1BQ$ 的法向量为 $n_2 = (x_2,y_2,z_2)$，
则 $n_2 \perp \overrightarrow{BD_1}$，$n_2 \perp \overrightarrow{QD_1}$，
即 $\begin{cases}- x_2 - y_2 + z_2 = 0, \\ - y_2 + (1 - m)z_2 = 0, \end{cases}$
取 $z_2 = 1$，则 $n_2 = (m,1 - m,1)$ 为平面 $D_1BQ$ 的一个法向量。
要使平面 $D_1BQ //$ 平面 $PAO$，需满足 $n_1 // n_2$，
因此 $\frac{1}{m} = \frac{1}{1 - m} = \frac{2}{1}$，解得 $m = \frac{1}{2}$，这时 $Q$ 的坐标为 $(0,1,\frac{1}{2})$，
故当 $Q$ 为 $CC_1$ 的中点时，平面 $D_1BQ //$ 平面 $PAO$。
2. 证明：如图所示，建立空间直角坐标系 $Dxyz$，
则 $D(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$C_1(0,2,2)$，$E(2,2,1)$，$F(0,0,1)$，$B_1(2,2,2)$，
所以 $\overrightarrow{FC_1} = (0,2,1)$，$\overrightarrow{DA} = (2,0,0)$，$\overrightarrow{AE} = (0,2,1)$。
(1) 设 $n_1 = (x_1,y_1,z_1)$ 是平面 $ADE$ 的法向量，
则 $n_1 \perp \overrightarrow{DA}$，$n_1 \perp \overrightarrow{AE}$，
即 $\begin{cases}n_1 \cdot \overrightarrow{DA} = 2x_1 = 0, \\ n_1 \cdot \overrightarrow{AE} = 2y_1 + z_1 = 0, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_1 = 0, \\ z_1 = - 2y_1, \end{cases}$
令 $z_1 = 2$，则 $y_1 = - 1$，
所以 $n_1 = (0, - 1,2)$ 为平面 $ADE$ 的一个法向量。
因为 $\overrightarrow{FC_1} \cdot n_1 = - 2 + 2 = 0$，
所以 $\overrightarrow{FC_1} \perp n_1$。
又因为 $FC_1 \not\subset$ 平面 $ADE$，
所以 $FC_1 //$ 平面 $ADE$。
(2) 因为 $\overrightarrow{C_1B_1} = (2,0,0)$，
设 $n_2 = (x_2,y_2,z_2)$ 是平面 $B_1C_1F$ 的法向量，
则 $n_2 \perp \overrightarrow{FC_1}$，$n_2 \perp \overrightarrow{C_1B_1}$，
即 $\begin{cases}n_2 \cdot \overrightarrow{FC_1} = 2y_2 + z_2 = 0, \\ n_2 \cdot \overrightarrow{C_1B_1} = 2x_2 = 0, \end{cases}$
解得 $\begin{cases}x_2 = 0, \\ z_2 = - 2y_2, \end{cases}$
令 $z_2 = 2$，得 $y_2 = - 1$，
所以 $n_2 = (0, - 1,2)$ 为平面 $B_1C_1F$ 的一个法向量。
因为 $n_1 = n_2$，
所以平面 $ADE //$ 平面 $B_1C_1F$。