《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1. 已知两点A(−3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)
　的直线l与线段AB有公共点.
　(1)求直线l的倾斜角α的取值范围;
　(2)求直线l的斜率k的取值范围.

答案：
解：如图，由题意可知，$k_{PA}=\frac{4 - 0}{-3 - 1}=-1$，$k_{PB}=\frac{2 - 0}{3 - 1}=1$.

(1)由题意可知，直线$l$的倾斜角介于直线$PB$与$PA$的倾斜角之间. 又直线$PB$的倾斜角是$45^{\circ}$，直线$PA$的倾斜角是$135^{\circ}$，所以$\alpha$的取值范围是$45^{\circ}\leq\alpha\leq135^{\circ}$.
(2)要使直线$l$与线段$AB$有公共点，则直线$l$的斜率$k$的取值范围是$k\leq - 1$或$k\geq1$.

2. 一条光线从点A(−2,3)射入,经过x轴上的点P反射后，通过点B(5,7),求点P的坐标.

答案：
解：(方法一)设点$P(x,0)$. 由光的反射原理知，反射角等于入射角，可得$\beta=\alpha$，如图
(1)，所以反射光线$PB$的倾斜角$\beta$与入射光线的倾斜角$(180^{\circ}-\alpha)$互补，因此$k_{AP}=-k_{BP}$，即$\frac{0 - 3}{x - (-2)}=-\frac{0 - 7}{x - 5}$，解得$x=\frac{1}{10}$，所以点$P$的坐标为$(\frac{1}{10},0)$.
(方法二)由题意可将$x$轴看作镜面，易知入射点$A(-2,3)$关于$x$轴的对称点为$A'(-2,-3)$. 由光学知识知，点$A'$应在反射光线所在的直线上，即$A'$，$P$，$B$三点共线，如图
(2). 设点$P(x,0)$，从而有$k_{A'P}=k_{PB}$，即$\frac{0 + 3}{x + 2}=\frac{7}{5 - x}$，解得$x=\frac{1}{10}$，所以点$P$的坐标为$(\frac{1}{10},0)$.