《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

知识点 两点间的距离
1. 平面上的两点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$间的距离公式$|P_1P_2|=$____________.

答案： $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

2. 两点间距离的特殊情况
（1）原点$O(0,0)$与任一点$P(x,y)$间的距离$|OP|=$________.
（2）当$P_1P_2// x$轴$(y_1 = y_2)$时，$|P_1P_2|=$________.
（3）当$P_1P_2// y$轴$(x_1 = x_2)$时，$|P_1P_2|=$________.

答案：
(1)$\sqrt{x^2 + y^2}$
@@
(2)$|x_2 - x_1|$
@@
(3)$|y_2 - y_1|$

[微训练]
1. 已知$M(2,1),N(-1,5)$，则$|MN|=$（ ）
A. 5
B.$\sqrt{37}$
C.$\sqrt{13}$
D. 4

答案： A

2. 已知点$A(-2,-1),B(a,3)$，且$|AB| = 5$，则$a$的值为（ ）
A. 1
B. -5
C. 1或-5
D. -1或5

答案： C

任务一 两点间的距离公式
1. 已知$\triangle ABC$的顶点坐标为$A(7,8),B(10,4),C(2,-4)$，则边$BC$上的中线$AM$的长为（ ）
A. 8
B. 13
C.$2\sqrt{15}$
D.$\sqrt{65}$

答案： D 解析：由$B(10,4),C(2,-4)$，可得中点$M(6,0)$。又$A(7,8)$，所以$|AM| = \sqrt{(6 - 7)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{65}$。

2. 已知线段$AB$的两个端点分别在$x$轴和$y$轴上，且线段$AB$的中点为$C(1,1)$，则$|AB|$等于（ ）
A. 2
B.$\sqrt{2}$
C. 4
D.$2\sqrt{2}$

答案： D 解析：设$A(a,0),B(0,b)$，则$\begin{cases}1 = \frac{a + 0}{2}\\1 = \frac{0 + b}{2}\end{cases}$，即$\begin{cases}a = 2\\b = 2\end{cases}$，所以$A(2,0),B(0,2)$，所以$|AB| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = 2\sqrt{2}$。

3. 设点$A$在$x$轴上，点$B$在$y$轴上，线段$AB$的中点是$P(2,-1)$，则$|AB|$等于________.

答案： $2\sqrt{5}$ 解析：设$A(x,0),B(0,y)$。因为$AB$的中点为$P(2,-1)$，所以$\frac{x}{2} = 2,\frac{y}{2} = -1$，所以$x = 4,y = -2$，即$A(4,0),B(0,-2)$，所以$|AB| = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}$。

任务三 坐标法求解平面几何问题
1. 已知$\triangle ABC$的三个顶点坐标是$A(-3,1)$，$B(3,-3)$，$C(1,7)$.
（1）判断$\triangle ABC$的形状;
（2）求$\triangle ABC$的面积.

答案：
解：
(1)（方法一）因为$|AB| = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-3 - 1)^2} = 2\sqrt{13}$，
$|AC| = \sqrt{(1 + 3)^2 + (7 - 1)^2} = 2\sqrt{13}$，
$|BC| = \sqrt{(1 - 3)^2 + (7 + 3)^2} = 2\sqrt{26}$，
所以$|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$，且$|AB| = |AC|$，
所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形。

(方法二)因为$k_{AC} = \frac{7 - 1}{1 - (-3)} = \frac{3}{2},k_{AB} = \frac{-3 - 1}{3 - (-3)} = -\frac{2}{3}$，
则$k_{AC} \cdot k_{AB} = -1$，
所以$AC \perp AB$。
又$|AC| = \sqrt{(1 + 3)^2 + (7 - 1)^2} = 2\sqrt{13}$，
$|AB| = \sqrt{(3 + 3)^2 + (-3 - 1)^2} = 2\sqrt{13}$，
所以$|AC| = |AB|$，
所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
(2)$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|AC| \cdot |AB| = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} \times 2\sqrt{13} = 26$。