《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

1. 已知直角三角形$ABC$的直角顶点$C(1,1)$，点$A(-2,3)$，$B(0,y)$，则$y =$

答案： $-\frac{1}{2}$ 解析：$k_{AC}=\frac{3 - 1}{-2 - 1}=-\frac{2}{3}$，$k_{BC}=\frac{y - 1}{0 - 1}=1 - y$。因为$\angle C = 90^{\circ}$，所以$AC\perp BC$，即$(-\frac{2}{3})(1 - y)=-1$，解得$y=-\frac{1}{2}$。

2. 若不同的两点$P$，$Q$的坐标分别为$(a,b)$，$(3 - b,3 - a)$，则线段$PQ$的垂直平分线的斜率为

答案： -1 解析：因为$k_{PQ}=\frac{b - 3 + a}{a - 3 + b}=1$，所以线段$PQ$的垂直平分线的斜率为-1。

1. 已知点$A(0,1)$，$B(1,0)$，$C(3,2)$，$D(2,3)$，试判断四边形$ABCD$的形状.

答案： 解：由题意，得$k_{AB}=\frac{0 - 1}{1 - 0}=-1$，$k_{CD}=\frac{3 - 2}{2 - 3}=-1$，$k_{BC}=\frac{2 - 0}{3 - 1}=1$，$k_{DA}=\frac{3 - 1}{2 - 0}=1$，
所以$k_{AB}=k_{CD}$，$k_{BC}=k_{DA}$，
所以$AB// CD$，$BC// DA$，
所以四边形$ABCD$为平行四边形。
又因为$k_{AB}\cdot k_{BC}=-1$，
所以$AB\perp BC$，即$\angle ABC = 90^{\circ}$，
所以平行四边形$ABCD$为矩形，
故四边形$ABCD$为矩形。

2. 已知点$A(0,3)$，$B(-1,0)$，$C(3,0)$，且四边形$ABCD$为直角梯形，求点$D$的坐标.

答案：
解：设所求点$D$的坐标为$(x,y)$，如图。

因为$k_{AB}=3$，$k_{BC}=0$，
所以$k_{AB}\cdot k_{BC}\neq -1$，即$AB$与$BC$不垂直，
所以$AB$，$BC$都不可作为直角梯形的直角边。
①若$CD$是直角梯形的直角边，
则$BC\perp CD$，$AD\perp CD$。
因为$k_{BC}=0$，
所以$CD$的斜率不存在，
所以$x = 3$。
又因为$k_{AD}=k_{BC}$，
所以$\frac{y - 3}{x}=0$，
所以$y = 3$，
此时$AB$与$CD$不平行，
故所求点$D$的坐标为$(3,3)$。
②若$AD$是直角梯形的直角边，
则$AD\perp AB$，$AD\perp CD$。
因为$k_{AD}=\frac{y - 3}{x}$，$AD\perp AB$，
所以$\frac{y - 3}{x}\times3=-1$。
又因为$AB// CD$，$k_{CD}=\frac{y}{x - 3}$，
所以$\frac{y}{x - 3}=3$，解得$x=\frac{18}{5}$，$y=\frac{9}{5}$，
此时$AD$与$BC$不平行，
故所求点$D$的坐标为$(\frac{18}{5},\frac{9}{5})$。
综上可知，点$D$的坐标为$(3,3)$或$(\frac{18}{5},\frac{9}{5})$。