《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务一　线线角、线面角
1. 如图，在三棱锥$V - ABC$中，顶点$C$在空间直角坐标系的原点处，顶点$A$，$B$，$V$分别在$x$轴、$y$轴、$z$轴上，$D$是线段$AB$的中点，且$AC = BC = 2$，$\angle VDC = \theta$. 当$\theta = \frac{\pi}{3}$时，求异面直线$AC$与$VD$所成角的余弦值.

答案： 解:因为AC = BC = 2，D是AB的中点，
所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).
又在Rt△VCD中，CD = $\sqrt{2}$，当$\theta = \frac{\pi}{3}$时，VC = $\sqrt{6}$，
所以V(0,0,$\sqrt{6}$)，
所以$\overrightarrow{AC}=(-2,0,0)$，$\overrightarrow{VD}=(1,1,-\sqrt{6})$，
所以$|\cos\langle\overrightarrow{AC},\overrightarrow{VD}\rangle| = \frac{|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{VD}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{VD}|} = \frac{|-2|}{2\times2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以异面直线AC与VD所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$.

2. 如图，在三棱锥$P - ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB\perp AC$，$PA = AC = \frac{1}{2}AB$，$N$为$AB$上一点，$AB = 4AN$，$M$，$S$分别为$PB$，$BC$的中点.
（1）证明：$CM\perp SN$；
（2）求$SN$与平面$CMN$所成角的大小.

答案：
解:设PA = 1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图)，

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0).
因为AN = $\frac{1}{4}$AB，M，S分别为PB，BC的中点，
所以N($\frac{1}{2}$,0,0)，M(1,0,$\frac{1}{2}$)，S(1,$\frac{1}{2}$,0).
(1)证明:$\overrightarrow{CM}=(1,-1,\frac{1}{2})$，$\overrightarrow{SN}=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0)$，
所以$\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{SN}=(1,-1,\frac{1}{2})\cdot(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0) = 0$，
因此CM⊥SN.
(2)解:$\overrightarrow{NC}=(-\frac{1}{2},1,0)$.
设$\boldsymbol{a}=(x,y,z)$为平面CMN的法向量，
则$\overrightarrow{CM}\cdot\boldsymbol{a} = 0$，$\overrightarrow{NC}\cdot\boldsymbol{a} = 0$，
即$\begin{cases}x - y + \frac{1}{2}z = 0 \\ -\frac{1}{2}x + y = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 2y \\ z = -2y\end{cases}$，
取y = 1，得$\boldsymbol{a}=(2,1,-2)$为平面CMN的一个法向量.
因为$\cos\langle\boldsymbol{a},\overrightarrow{SN}\rangle = \frac{-1 - \frac{1}{2}}{3\times\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以$\langle\boldsymbol{a},\overrightarrow{SN}\rangle = \frac{3}{4}\pi$，
所以SN与平面CMN所成的角为$\frac{3}{4}\pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$.