《2025年新编高中同步作业高中数学选择性必修第一册人教版A》

任务一 向量共线的充要条件
1. 已知非零向量a，b，且$\overrightarrow{AB}$ = a + 2b，$\overrightarrow{BC}$ = -5a + 6b，$\overrightarrow{CD}$ = 7a - 2b，则一定共线的三点是 （ ）
A. A，B，D
B. A，B，C
C. B，C，D
D. A，C，D

答案： A解析:因为 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=3a + 6b = 3(a + 2b)=3\overrightarrow{AB}$，所以 $\overrightarrow{AD}//\overrightarrow{AB}$。又 $\overrightarrow{AD}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 有公共点 $A$，所以 $A$，$B$，$D$ 三点共线。

2. 如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且$\overrightarrow{CF}$ = $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CG}$ = $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$. 求证：四边形EFGH是梯形.
　　　　　　　　　　　　

答案： 证明:因为 $E$，$H$ 分别是 $AB$，$AD$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AH}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，所以 $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB})=\frac{1}{2}(\frac{3}{2}\overrightarrow{CG}-\frac{3}{2}\overrightarrow{CF})=\frac{3}{4}(\overrightarrow{CG}-\overrightarrow{CF})=\frac{3}{4}\overrightarrow{FG}$，所以 $\overrightarrow{EH}//\overrightarrow{FG}$，且 $|\overrightarrow{EH}|=\frac{3}{4}|\overrightarrow{FG}|\neq|\overrightarrow{FG}|$。又 $F$ 不在直线 $EH$ 上，所以四边形 $EFGH$ 是梯形。

任务二 向量共面的充要条件的应用
[探究活动]
对平面内任意两个不共线向量a，b，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意向量p，都可以写成p = x a + y b，其中(x，y)是唯一确定的有序实数对.
　　　　　　
探究1：已知向量a，b，c不共面，且p = 3a + 2b + c，m = a - b + c，n = a + b - c，试判断p，m，n是否共面.

答案： [探究活动]
探究1提示:假设 $p$，$m$，$n$ 共面，则存在 $x$，$y\in R$，使 $p = xm + yn$，即 $3a + 2b + c = x(a - b + c)+y(a + b - c)=(x + y)a+(-x + y)b+(x - y)c$。因为 $a$，$b$，$c$ 不共面，所以 $\begin{cases}x + y = 3\\-x + y = 2\\x - y = 1\end{cases}$，此方程组无解，所以 $p$ 不能用 $m$，$n$ 表示，即 $p$，$m$，$n$ 不共面。